Условия возникновения распределения Пуассона

1. Распределение Пуассона является предельным случаем биномиального распределения, когда число опытов , а вероятность , так что – постоянно, т.е. распределение Пуассона – это закон распределения вероятностей массовых ( ), но редких ( ) событий. Например, Х – число бракованных деталей в большой партии, число опечаток в большом тексте и т.д.

2. Закону распределения Пуассона обычно подчинена случайная величина, задающая простейший поток событий (например, число вызовов скорой помощи, число звонков на телефонной станции, число заказов такси, поступивших в течение интервала t и т.д.).

Поясним понятие простейшего (или пуассоновского) потока событий.

Рассмотрим временную ось, на которой будем отмечать моменты возникновения случайных событий (например, отказы компонентов в сложном техническом устройстве, заявки на обслуживание, прибытие самолетов в аэропорт и т.п.). Последовательность таких моментов называется потоком случайных событий.

Поток случайных событий называется стационарным, если число событий k, приходящихся на интервал t, в общем случае не зависит от расположения этого участка на временной оси и определяется только его длительностью, т.е. среднее число событий в единице времени (или интенсивность потока) постоянно. Например, вероятности появления k событий на промежутках времени (1, 6), (3, 8),…, (T,T + 5), … длительностью 5 ед. равны между собой.

Поток случайных событий называется ординарным, если появление двух и более случайных событий за малый промежуток времени практически невозможно.

В потоке отсутствует последействие, если вероятность попадания событий на участок t не зависит от того, сколько событий попало на другие участки, не пересекающиеся с данным участком.

Поток случайных событий называется пуассоновским или простейшим, если он является стационарным, ординарным и без последействия.

Если постоянная интенсивность потока λ известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время t определяется формулой Пуассона

. (2.24)

Пример 2.11. Среднее число заказов такси, поступающих в одну минуту, равно 3. Написать первые 4 члена распределения случайной величины X – число заказов такси, поступивших за 2 мин.

Решение. По условию , . Случайная величина X принимает счетное число значений 0, 1, 2, 3,… Для вычисления вероятностей этих значений воспользуемся формулой (2.24):

,

Так как , то , , , .

2.8.3. Геометрическое распределение

Определение 2.17. Дискретная случайная величина X имеет геометрическое распределение, если она принимает счетное количество значений 1, 2, 3, …, с вероятностями

, (2.25)

где p – параметр распределения ( ), .

	1	2	3	…	k	…
	p	qp		…		…

Теорема 2.2. Математическое ожидание и дисперсия геометрического распределения вычисляются по следующим формулам:

, . (2.26)