2.10. Основные виды распределений непрерывных случайных величин

В данном параграфе описываются важные и распространенные в приложе­ниях распределения непрерывных случайных величин: равномерное, показательное (или экспоненциальное) и нормальное (или гауссовское) распределения.

2.10.1. Равномерное распределение

Определение 2.21. Равномерным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое задается плотностью

Равномерное распределение характеризуется двумя параметрами: a и b.

К случайным величинам, имеющим равномерное распределение, относятся: время ожидания пассажиром автотранспорта, ошибки округления числа до целого, и вообще, случайная величина, о которой известно, что все ее значения лежат внутри некоторого интервала и все они имеют одинаковую вероятность (плотность).

В силу формулы (2.31) получаем, что функция распределения имеет вид

(2.41)

Поэтому для случайной величины X, равномерно распределенной на отрезке , вероятность попадания в интервал , принадлежащий целиком интервалу , равна

.

Ниже приведены графики функции и плотности равномерного распределения:

a

Для равномерного распределения математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение равны

, , . (2.42)

Пример 2.19. Случайная величина X равномерно распределена в интервале , причем и . Найти вероятность событий , , .

Решение. В силу формул (2.42) и равенства , получаем

.

Следовательно, подставляя и в формулу (2.41), получаем

Поэтому ;

;

.

2.10.2. Показательное распределение

Определение 2.22. Показательным (или экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое задается плотностью

где – положительная константа. Мы видим, что показательное распределение характеризуется одним параметром ( ). Следовательно, функция распределения определяется по формуле

(2.43)

Ниже приведены графики плотности и функции показательного распределения:

Для показательного распределения математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение равны

, , . (2.44)

Вероятность попадания в интервал непрерывной случайной величины X, распределенной по показательному закону, равна

для любых .

Пример 2.20. Случайная величина X имеет показательное распределение, причем . Найти вероятность события .

Решение. В силу равенства и формулы (2.44) получаем . Следовательно, подставляя в формулу (2.43), получаем

Поэтому,

Ответ: 0,23.

Показательное распределение часто используется в теории массового обслуживания и в теории надежности для описания распределения случайной величины вида: длительность работы прибора до первого отказа, длительность времени обслуживания в системе массового обслуживания и т.п.

Например, пусть непрерывная случайная величина T – время безотказной работы прибора. Функция распределения величины T, т.е. , – вероятность выхода из строя (или отказа) прибора за время t. Тогда – вероятность безотказной работы за время t. Функция называется функцией надежности.

Случайная величина T часто имеет показательное распределение. Ее функция распределения определяется по формуле . Следовательно, функция надежности равна , где – интенсивность отказов, т.е. среднее число отказов в единицу времени.

Пример 2.21. Случайная величина T – время работы лампы имеет показательное распределение. Найти вероятность того, что лампа проработает не менее 800 ч., если среднее время работы лампы – 400 ч.

Решение. По условию, . Поэтому, в силу формулы (2.44), , и . Следовательно, применяя формулы (2.29) и (2.43), получаем

Ответ: 0,14.