Вариант 4

1. Задано распределение вероятностей двух случайных величин X и Y:

	X				– 1			0
	P				0,6			0,4

Y	1	2	3
P	0,3	0,4	0,3

Требуется: а) построить полигон распределения для каждой величины; б) вычислить и построить график функции распределения; в) вычислить математическое ожидание и дисперсию для каждой величины; г) найти распределение вероятностей случайной величины и вычислить ее математическое ожидание двумя способами.

2. В ящике имеется 42 шара с цифрами 1, 3 и 5. Шаров с цифрой 5 в два раза больше, чем шаров с цифрой 3. Случайная величина X – число на вынутом наудачу шаре (шары возвращаются в ящик). Известно, что . Найти , а также число шаров с цифрами 1, 3 и 5.

3. Вероятность выпуска прибора, удовлетворяющего требованиям качества, равна 0,9. Случайная величина X – число приборов, удовлетворяющих требованиям качества, в партии их трех приборов. Найти ряд распределения величины X и вычислить ее математическое ожидание и дисперсию.

4. Из урны, содержащей 3 белых и 5 чёрных шара, извлекаются наудачу 3 шара. Пусть X – количество черных шаров среди извлеченных. Найти закон распределения случайной величины и вычислить ее математическое ожидание и дисперсию.

5. Задана интегральная функция распределения . Требуется: а) найти значение a; б) найти плотность распределения ; в) построить графики и ; г) вычислить математическое ожидание и дисперсию; д) вычислить вероятность того, что принадлежит интервалу .

6. Время ремонта и обслуживания автомобиля после одной поездки случайно и имеет показательный закон распределения с математическим ожиданием 5 мин. Найти вероятность того, что при очередной поездке это время не превысит 10 мин.

7. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины , соответственно, равны 30 и 10. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение из промежутка .

8. Задано распределение вероятностей двумерной случайной величины :

	0	1
– 1	0	0,2
0	0,1	0,2
1	0,4	0,1

Найти: а) законы распределения X и Y; б) функцию распределения ; в) вероятность ; г) ковариацию и коэффициент корреляции величин X и Y. Зависимы ли случайные величины X и Y ?

Вариант 5

1. Задано распределение вероятностей двух случайных величин X и Y:

X	– 1	0	2
P	0,5	0,4	0,1

Y	– 1	0	1
P	0,2	0,5	0,3

Требуется: а) построить полигон распределения для каждой величины; б) вычислить и построить график функции распределения; в) вычислить математическое ожидание и дисперсию для каждой величины; г) найти распределение вероятностей случайной величины и вычислить ее математическое ожидание двумя способами.

2. 20 студентов сдали экзамен. Полученные ими оценки 3 и 4 представ­ляют собою все возможные значения случайной величины X, математическое ожидание которой равно 3,4. Определить, сколько студентов получили каждую из указанных оценок.

3. Две игральные кости одновременно бросают два раза. Найти закон распределения случайной величины – числа выпадений чётного числа очков на каждой кости, вычислить ее математическое ожидание и дисперсию.

4. В партии из шести деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Найти ряд распределения случайной величины X – количества стандартных деталей среди отобранных. Найти интегральную функцию и построить её график. Вычислить математическое ожидание и дисперсию.

5. Задана плотность распределения

. Требуется: а) найти значение a; б) найти функцию распределения ; в) построить графики и ; г) вычислить математическое ожидание, дисперсию и моду; д) вычислить вероятность того, что принадлежит интервалу .

6. Длительность междугородних городских телефонных разговоров распределена по показательному закону. Разговоры продолжаются в среднем 3 мин. Найти вероятность того, что очередной разговор будет продолжаться более 3 мин.

7. Значение теста IQ распределено по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 100, и средним квадратическим отклонением, равным 16. Найти долю людей, у которых коэффициент интеллекта окажется в пределах от 80 до 120.

8. Двумерная случайная величина задана плотностью распределения , которая равна при , , и в остальных точках. Найти а) величину параметра ; б) функцию распределения ; в) плотности распределения каждой компоненты; г) вероятность . Являются ли величины X и Y зависимыми?