88. Критерий устойчивости (критерий Найквиста)

ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ

НАЙКВИСТА.

Частотный критерий устойчивости Найквиста базируется на частотных характеристиках разомкнутых систем управления. Он дает правила, согласно которых по виду частотных характеристик разомкнутой системы можно судить об устойчивости замкнутой системы.

Случай 1. Система устойчива в разомкнутом состоянии.

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

, (1)

Этот случай соответствует сигналам автоматического управления без астатизма. Введем вспомогательную функцию:

, (2)

где - характеристический полином замкнутой системы; - характеристический полином разомкнутой системы.

Подставим в (2) , получим . По критерию Михайлова изменение аргумента при равно , т.к. предполагается, что разомкнутая цепь устойчива. С другой стороны требуется, чтобы система была устойчива в замкнутом состоянии. Для этого нужно потребовать, чтобы изменение аргумента при также равнялось . Отсюда следует, что изменение аргумента должно быть равно

.

Это значит, что годограф не должен охватывать начало координат (см. рис. 8 и рис. 9).

Вернемся теперь к функции, , которая представляет собой амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы (рис. 10 и рис 11).

Формулировка частотного критерия Найквиста.

Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазо-частотная характеристика разомкнутой системы не охватывала точку .

Первый график (рис. 9) соответствует случаю, когда устойчивость системы нарушается только с увеличением общего коэффициента усиления разомкнутой системы. Второй график (рис. 10) соответствует случаю, когда уменьшение к может привести к неустойчивости замкнутой системы (с уменьшением к меняются радиусы-векторы всех точек характеристики).

Годографы неустойчивых систем.

Имея в виду очертания амплитудно-фазовых характеристик, к сформулированному критерию устойчивости добавим разъяснения, что значит «не охватывает точки с координатами ».

Характеристика может пересекать отрицательную ось левее точки , но тогда число положительных (сверху вниз) переходов характеристики через ось абсцисс левее точки должно равняться числу отрицательных переходов (снизу вверх).

Случай 2. Система нейтральна в разомкнутом состоянии.

Характеристический полином разомкнутой системы имеет нулевые корни, а остальные все корни имеют отрицательные вещественные части. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

, .

Это соответствует системам с астатизмом порядка . Рассмотрим случай, когда , тогда . Плоскость корней имеет вид, примерно, как показано на рисунке.

Подстановка при означает перемещение вдоль оси от точки 0 вверх. При этом, чтобы все корни оставить слева, обойдем точку 0 по окружности малого радиуса , тогда ; . И при получим ; , где при .Следовательно, точки соответствует окружности бесконечно большого радиуса в плоскости корней . Поскольку при этом все корни остались слева, то формулировка критерия устойчивости осталась такой же как и для случая устойчивости разомкнутой системы (случай 1), т.е. годограф Найквиста не должен охватывать точку .

В случае аналогично получается та же формулировка критерия – не охват точки как показано на рисунках

Для сложных очертаний годографа Найквиста в число отрицательных переходов надо включать и переход пунктирной окружности бесконечно большого радиуса при .

Случай 3. Система неустойчива в разомкнутом состоянии.

Пусть характеристический многочлен разомкнутой системы имеет корней с положительной действительной частью. Тогда функция

при замене на , согласно критерию Михайлова для устойчивости замкнутой системы должна иметь следующее изменение аргумента

при изменении частоты от 0 до . Это значит, что для устойчивости замкнутой системы требуется, чтобы амплитудно-фазо-частотная характеристика разомкнутой цепи охватила точку против часовой стрелки на угол , где - число полюсов с положительной вещественной частью в передаточной функции неустойчивой разомкнутой системы. Другими словами, левее точки разность между положительными и отрицательными переходами годографа Найквиста через ось абсцисс должна равняться .

Пример. Годограф Найквиста ; система в замкнутом состоянии устойчива

Начальная точка характеристики левее точки считается за перехода (положительного). Левее точки - число положительных переходов . Число отрицательных переходов 0 их разность , система устойчива в замкнутом состоянии.

Определение устойчивости систем автоматического управления по логарифмическим частотным характеристикам с помощью критерия Найквиста.

Будем считать, что структурная схема системы приведена к расчётной схеме

- амплитудно-частотная характеристика, - фазочастотная характеристика ; .

- запас устойчивости по фазе, - запас устойчивости по амплитуде (см. рис. 12). Величины и - являются количественной оценкой свойств устойчивости замкнутой системы. Чем больше - тем дальше система находится от границ устойчивости.

Анализируя рисунок, можно сформулировать критерий Найквиста применительно к логарифмическим частотным характеристикам.

Для того, чтобы система автоматического управления была устойчива необходимо и достаточно, чтобы фазочастотная характеристика разомкнутой системы должна пересекать прямую правее частоты среза (см. рис. 13, логарифмические частотные характеристики устойчивой системы)

В случае более сложной конфигурации графика функции следует пользоваться правилом переходов.

Как было показано, устойчивость системы автоматического управления связано с числом переходов амплитудно-фазо-частотной характеристики отрезка отрицательной вещественно полуоси.

Когда амплитудно-фазовая характеристика пересекает отрицательную вещественную полуось, логарифмическая фазо-частотная характеристика пересекает линию (см. рисунок 14). Переходы через эту линию не опасны с точки зрения устойчивости, если они совершаются справа от точки , т.е. если при этом модуль амплитудно-фазо-частотной характеристики меньше единицы . И, следовательно, если ординаты логарифмической амплитудно-частотной характеристики отрицательны, т.е. . Поэтому область отрицательных логарифмических характеристик при исследовании устойчивости интереса не представляют.

Положительному переходу (сверху вниз) через отрезок характеристики соответствует пересечение логарифмических фазо-частотных характеристик при прямой снизу вверх (точка 2 на рисунке 14), а отрицательному переходу (сверху вниз – точка 1 на рисунке 14).

Критерий устойчивости Найквиста применительно к логарифмическим частотным характеристикам может быть сформулирован следующим образом.

Для того, чтобы система автоматического управления была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов логарифмических фазо-частотных характеристик прямой во всех областях, где логарифмическая амплитудно-частотная характеристика положительна была равна 0 или - где - число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

На рисунке приведены для примера амплитудно фазовая характеристика разомкнутой системы и соответствующая ей логарифмическая амплитудно-фазо-частотная характеристики. Из этих характеристик видно, что разность между числом положительных и отрицательных переходов логарифмической фазо-частотной характеристики прямой при равна 0. Таким образом, если разомкнутая система была устойчива ( ), то и замкнутая система будет устойчивой. При этом запасы устойчивости по амплитуде равны и , а запас устойчивости по фазе равны .

Иногда запас устойчивости по амплитуде определяют как .