Тема 2.2 Растяжение и сжатие Требования к знаниям и умениям студентов

Должны иметь представление: об гипотезе плоских сечений, модуле продольной упругости, коэффициенте поперечной деформации (коэффициент Пуассона).

Должны знать: правила определения продольных сил и построения их эпюр, нормальных напряжений в поперечных сечениях бруса и их эпюры, определение осевых перемещений поперечных сечений, формулировать закон Гука при растяжении (сжатии), испытания материалов на растяжение и сжатие при статическом нагружении.

Должны уметь: определять внутренние силовые факторы и напряжения в сечениях бруса при растяжении и сжатии (продольная сила Nz, нормальное напряжение σ), строить эпюры продольных сил Nz, нормальных напряжений σ, перемещений Δ, в поперечных сечениях бруса при растяжении и сжатии, проводить механические испытания материалов, на растяжение, сжатие с определением соответствующих характеристик прочности и пластичности, выполнить проверочные и проектные расчёты на прочность при растяжении и сжатии.

.

Содержание учебного материала

Продольные силы и их эпюры. Гипотеза плоских сечений. Нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса. Эпюры нормальных напряжений.

Продольная и поперечная деформации при растяжении (сжатии). Закон Гука. Модуль продольной упругости, коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона). Осевые перемещения поперечных сечений.

Испытание материалов на растяжение и сжатие при статическом нагружении.

Диаграмма растяжения малоуглеродистой стали. Основные механические характеристики. Диаграммы растяжения хрупких материалов. Механические характеристики пластичных и хрупких материалов при сжатии.

Напряжения расчетные, предельные и допускаемые. Коэффициент запаса прочности. Расчет на прочность: проверочный, проектный и определение допускаемой нагрузки.

Методические рекомендации

Начать изучение темы нужно с рассмотрения определения деформации растяжение и сжатие.

Растяжением и сжатием называется вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор - продольная сила Nz.

Прямой брус работающий на растяжение и сжатие называется стержнем.

Продольная сила Nz в произвольном поперечном сечении определяется с помощью метода сечений: она численно равна алгебраической сумме проекций на ось стержня всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения. График, показывающий изменение продольной силы по длине бруса называют эпюрой продольных сил.

Правило знаков для Nz: при растяжении продольная сила положительна, при сжатии – отрицательна.

Далее нужно перейти к рассмотрению вопроса о напряжениях, которые возникают в поперечных сечениях при растяжении и сжатии.

При растяжении и сжатии бруса в его поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения σ. Для их определения при известной продольной силе, необходимо установить закон их распределения по поперечному сечению бруса.

Эта задача решается на основе гипотезы Бернулли. Их данной гипотезы следует, что все волокна деформируются одинакова. При однородном материале равным деформациям соответствуют одинаковые напряжения.

Следовательно, при растяжении и сжатии бруса нормальные напряжения распределены по его поперечному сечению равномерно.

,

где А – площадь поперечного сечения, которая является геометрической характеристикой прочности бруса при растяжении и сжатии.

Для нормальных напряжений принимают тоже правило знаков, что и для продольных сил.

График, показывающий закон изменения нормальных напряжений по всей длине бруса, называется эпюрой нормальных напряжений.

После этого можно перейти к изучению деформаций при растяжении и сжатии.

При растяжении бруса его первоначальная длина увеличивается на (абсолютное удлинение), а первоначальный поперечный размер а уменьшается на а (абсолютное поперечное укорочение); при сжатии – наоборот.

Следует отметить, что деформирование бруса при растяжении и сжатии характеризуют величины:

Относительное удлинение (продольная деформация) – отношение величины абсолютного удлинения к первоначальной длине бруса

Относительное поперечное сужение (расширение) (поперечная деформация) – отношение изменения поперечного размера к его первоначальному значению

Продольная и поперечная деформации пропорциональны друг другу, что выражает коэффициент Пуассона, характеризующий упругие свойства материала

Прежде чем определить изменение длины бруса (удлинение или укорочение) нужно знать закон Гука: в пределах упругих деформаций между нормальными напряжениями и продольной деформацией существует прямо пропорциональная зависимость:

,

где Е – модуль продольной упругости (модуль Юнга), для стали Е=(1.9…2.15)10⁵ МПа.

Изменение длины бруса равно алгебраической сумме удлинений (укорочений) его отдельных участков и вычисляется по формуле Гука:

,

где N_i, _i, А_i – соответственно продольная сила, длина и площадь сечения в пределах каждого участка бруса;

АЕ – условно называется жёсткостью сечения бруса при растяжении и сжатии.

Далее следует перейти к рассмотрению понятия о перемещении поперечных сечений брусьев и их эпюр.

При растяжении и сжатии бруса его поперечные сечения перемещаются в направлении оси. Перемещения являются следствием деформации, но эти понятия необходимо строго разграничивать.

Перемещение произвольного сечения бруса равно изменению длины участка, заключённого между этим сечением и заделкой (на расстоянии z).

График, показывающий перемещения поперечных сечений в функции их расстояния z от жёстко защемлённого конца бруса, называется эпюрой перемещений.

После этого следует перейти к рассмотрению вопроса об испытании материалов при растяжении и сжатии.

В ходе механических испытаний материалов определяют следующие его свойства: прочность, пластичность, упругость, твёрдость.

По виду испытания подразделяются на:

- испытания на растяжение;

- испытания на сжатие.

По характеру нагружения:

- статические;

- динамические;

- повторно-переменные.

После этого следует перейти к изучению диаграммы растяжения малоуглеродистой стали, её характерных участков и точек.

Предел пропорциональности (σ_pr) ─ это наибольшее напряжение, до достижения которого справедлив закон Гука.

Предел упругости (σ_el) ─ это наибольшее напряжение, до достижения которого в образце не возникают остаточные деформации.

Предел текучести (σ_у) ─ это напряжение, при котором рост пластических деформаций при практически постоянной нагрузке.

Предел прочности (σ_u) ─ это условное напряжение, соответствующее наибольшей нагрузке, выдерживаемой образцом до разрушения.

Пластичность материала характеризуются относительным остаточным удлинением:

Относительное остаточное поперечное сужение:

При повторном нагружении за предел текучести предел пропорциональности увеличивается, а пластичность уменьшается. Это явление называется наклёп.

Далее следует перейти к изучению понятий предельных, допускаемых и расчётных напряжений.

В сопротивлении материалов различают 3 группы напряжений:

1. Предельные (опасные) напряжения, σ_dan ─ напряжения, при достижении которых возникают признаки разрушения материала или остаточные деформации.

Данные напряжения зависят только от материала и вида деформации и определяются по диаграммам испытания, либо по справочным таблицам.

В качестве предельных напряжений для трёх групп материалов применяют:

- для пластичных - физический предел текучести σ_у или условный предел текучести σ_0,2.

- для хрупкопластичных - условный предел текучести σ_0,2.

- для хрупких - предел прочности σ_u.

2. Допускаемые напряжения, σ_adm ─ наибольшие напряжения, которые можно допустить в рассчитываемой конструкции, исходя из условий её безопасности, надёжности, долговечности. Зависят от свойств материала, вида деформации и требуемого коэффициента запаса прочности.

3. Расчётные (фактические) напряжения, σ_mах ─ напряжения, возникающие в рассчитываемой конструкции при заданной нагрузке. Зависят от действующих на элемент конструкции нагрузок и его размеров. Зависят от свойств материала, вида деформации и требуемого коэффициента запаса прочности.

Прежде чем приступить к изучению расчётов на прочность при растяжении и сжатии, следует рассмотреть, какие существуют способы оценки прочности конструкции:

1. Условие прочности по коэффициенту безопасности.

В этом случае определяют расчётный коэффициент запаса прочности и сравнивают его с заданным или требуемым.

Расчётный коэффициент запаса прочности (S) равен отношению предельного напряжения к расчётному напряжению (его величина всегда должна быть больше 1).

Условие прочности

где S_adm - заданный или требуемый коэффициент запаса прочности, или коэффициент безопасности (минимально необходимый), нормативный.