Задача № 3

Алгоритм решения задачи:

1. Используя метод сечений построить эпюру нормальных сил «N_z»;

2. Построить эпюру нормальных напряжений «σ»;

3. Определить опасный участок бруса;

4. Из условия прочности определить допускаемую нагрузку F_adm;

5. Вычислить перемещения отдельных участков бруса;

6. Определить перемещение свободного конца бруса Δ.

Пример. Ступенчатый стальной брус нагружен продольными силами F₁, F₂, F₃ (рисунок 3.1). Построить эпюры продольных сил «N_z», нормальных напряжений «σ», перемещений «Δ». Из условия прочности определить допускаемую силу F_adm.

Исходные данные: F₁=0,3F; F₂=F; F₃=5F; a=400мм; b=600 мм; c=400 мм; A=1,510³ мм²; σ_adm=160 МПа; E=210⁵ МПа.

1. Методом сечений из соответствующих уравнений равновесия определяем продольные силы N_z на характерных участках бруса:

на первом участке бруса АВ: N_z1 = F₁ = 0,3F;

на втором участке бруса ВС: N_z2 = F₁ + F₂ = 0,3F + F = 1,3F;

на третьем участке бруса СD: N_z3 = F₁ + F₂ – F₃ = 0,3F + F – 5F = -3,7F.

Строим эпюру продольных сил «N_z» как показано на рисунке 3.2.

2. Определяем нормальные напряжения σ на характерных участках бруса:

σ₁ = N_z1/А = 0,3F/А;

σ₂ = N_z2/1,5А = 1,3F/(1,5А) = 0,87F/А;

σ₃ = N_z3/1,5А = -3,7F/(1,5А) = -2,47F/А.

Строим эпюру нормальных напряжений «σ» как показано на рисунке 3.3.

3. Анализ полученных результатов показывает, что опасным является третий участок бруса (возникают максимальные нормальные напряжения σ_max = │- 2,47 F/А │).

4. Определяем допускаемую силу F_adm из условия прочности (σ_maxσ_adm) этого участка:

│ - 2,47 F/А│  σ_adm,

откуда

F_adm ≤ σ_admА/2,47 = 1601,510³/2,47 = 9710³ Н = 97 кН.

5. Вычисляем перемещения отдельных участков бруса:

Δ_CD=N_z3c/(E1,5A)=-3,7Fc/(E1,5А)=-3,79710³400/(210⁵1,5·1,510³)=-0,32 мм;

Δ_ВС =N_z2b/(E1,5A)= 1,3Fb/(E1,5А)= 1,39710³600/(210⁵1,5·1,510³)=0,17 мм;

Δ_AB = N_z1a/(EA) = 0,3Fa/(EА) = 0,3 9710³400/(210⁵  1,510³) = 0,04 мм.

Строим эпюру перемещений «Δ» как показано на рисунке 3.4.

6. Определяем перемещение относительно свободного конца бруса Δ:

Δ_АD = Δ_AB + Δ_ВС + Δ_CD = 0,04 + 0, 17 – 0, 32 = - 0, 11 мм

Задача № 4

Алгоритм решения задач:

1. Построить эпюру поперечных сил «Q_Y».

2. Построить эпюру изгибающих моментов «М_Х».

3. Подобрать для балки заданное сечение из условия прочности по нормальным напряжениям.

Пример. Для заданной балки рисунок 4.1 построить эпюры поперечных сил «Q_y» и изгибающих моментов «M_x»; подобрать заданное сечение балки, если σ_adm=120МПа.

q=10кН/м

m=50кНм

C

F=50кН

D

B

A

4м 4м 2м

Рисунок 4.1

20

20

+

0

-

Эпюра «Q_Y»

(кН)

-30

Рисунок 4.2

70

50

30

Эпюра «М_Х»

(кН·м)

+

0

-

-50

Рисунок 4.3

1. Определяем поперечные силы Q_Y в характерных сечениях балки:

Q_YA = 0

Q_YB = 2q = 210 = 20 кН

Q^прав _YС = 2q = 210 = 20 кН

Q^лев _YС = 2q - F = 210 - 50 = - 30кН

Q_YD = 2q - F = 210 - 50 = - 30кН

Строим эпюру поперечных сил «Q_Y», как показано на рисунке 4.2.

2. Определяем изгибающие моменты М_Х в характерных сечениях балки:

М_ХА = m =50 кНм

М_ХВ = m - 2q1 = 50 - 2101 = 30 кНм

М_ХC = m - 2q5 = 50 -2105 = - 50 кНм

М_ХD = m - 2q9 + F4 = 50 - 2109 + 504 =70 кНм

Строим эпюру изгибающих моментов «М_Х» как показано на рисунке 4.3.

3. Подбираем для балки двутавровое сечение из условия прочности:

σ_max = M_xmax/W_x ≤ σ_adm;

W_x ≥ M_xmax/σ_adm;

W_x = 70·10⁶/120 = 583333 мм³ = 583 см³;

Двутавр № 33 (W_x = 597 см³).

Определяем действительное расчетное напряжение:

σ_max = 70·10⁶/597·10³ = 117 МПа.

Определяем процент недогрузки:

(σ_adm - σ_max)/ σ_adm · 100% = (120 – 117)/120·100% = 2,5%.

Сечение не догружено на 2,5%. С точки зрения обеспечения прочности допускается недогрузка ≤ 10 %, перегрузка ≤ 5 %. Прочность балки обеспечена. Принимаем двутавр № 33.