Тема 1.3. Кристаллографические проекции
Для наглядного представления угловых соотношений между направлениями и плоскостями в кристаллической решетке используют различного рода кристаллографические проекции, изображающие не сам кристалл (рис. 1.5, а), а его комплексы – кристаллический (рис. 1.5, б) или полярный (рис. 1.5, в).
Под кристаллическим комплексом понимают совокупность направлений и плоскостей, параллельных направлениям и плоскостям кристаллической решетки и проходящих через одну точку - центр комплекса. Полярным комплексом называют совокупность нормалей к плоскостям кристаллической решетки, пересекающихся в одной точке – центре комплекса.
Рис. 1.5: а – куб; б – кристаллический комплекс; в – полярный комплекс.
Из кристаллографических проекций в кристаллографии и структурном анализе чаще всего используют стереографические и гномостереографические проекции.
Стереографические проекции плоскостей изображаются линиями. При этом вертикальная плоскость изображается прямой линией, являющейся одним из диаметров круга проекций; горизонтальная – самой окружностью круга проекций; наклонная – дугой, опирающейся на концы соответствующего диаметра круга проекций.
Более простыми и удобными для количественных расчетов являются стереографические проекции полярных комплексов, которые и называют гномостереографическими. Построение гномостереографической проекции плоскости производится так же, как и построение стереографической проекции направления. Поэтому гномостереографические проекции плоскостей изображаются точками: гномостереографическая проекция горизонтальной плоскости – точкой, лежащей в центре круга проекций; гномостереографическая проекция вертикальной плоскости – точкой, лежащей на окружности круга проекций; гномостереографическая проекция наклонной плоскости – точкой, лежащей внутри круга проекций.
Тема 1.4. Элементы симметрии кристаллических многогранников
Одним из характерных признаков кристаллической решетки является то, что ее различные части построены совершенно одинаково и периодически повторяются в пространстве.
Так как симметричным называют тело, состоящее из закономерно повторяющихся равных частей, то кристаллические тела являются симметричными образованиями.
В
спомогательные
геометрические образы (точки, прямые
или плоскости), относительно которых
закономерно повторяются равные части
тел, называются элементами
симметрии.
Рис.
1.6.
Фигура, имеющая центр симметрии
При наличии центра симметрии каждой грани кристаллического многогранника соответствует другая грань, ей равная и параллельная (или антипараллельная).
Поворотная ось симметрии n-го порядка (Ln или n) – это прямая, при одном полном обороте вокруг которой тело n раз совмещается само с собой всеми своими точками.
Наименьший угол поворота αn, приводящий тело к самосовмещению, называется элементарным углом поворота оси симметрии; αn=360°/n.
Инверсионная ось симметрии n-го порядка (Ln или n) – это прямая, при повороте вокруг которой на угол αn с последующим (или предварительным) отражением в центральной точке тела (центре инверсии), как в центре симметрии, тело n раз приходит к самосовмещению. Следует помнить, что центр симметрии может при этом и не быть самостоятельным элементом симметрии.
В произвольных геометрических телах могут встречаться оси симметрии любого порядка. Однако можно доказать, что в кристаллических телах не может быть осей симметрии пятого, седьмого и более высоких порядков. Иначе говоря, и кристаллических многогранниках могут встречаться поворотные оси симметрии 1 (L1), 2(L2), 3 (L3), 4 (L4), 6 (L6) и инверсионные оси симметрии 1 (L1), 2 (L2), 3 (L3), 4 (L4), 6 (L6).
Рис.
1.7.
Фигуры, имеющие оси симметрии 2(а),
3(б),
4(в)
и 6(г)
сь
симметрии второго порядка обеспечивает
самосовмещение тела при повороте вокруг
нее на угол, кратный 180°(π); третьего
порядка - на угол, кратный 120°(2π/3);
четвертого порядка - на угол, кратный
90°(π /2); шестого порядка - на угол, кратный
60°(π/3) (рис. 1.7).
В кристаллических многогранниках оси симметрии могут проходить: через вершины, в которых сходятся равные ребра; через вершины, образованные четным числом граней с попарно равными противоположными двугранными углами; через центры граней с числом ребер, кратным порядку оси симметрии; перпендикулярно граням или через середины ребер перпендикулярно ребрам.
Рис.
1.8.
Фигура, имеющая плоскость симметрии m
еркальная
плоскость симметрии (Р
или m)
- это плоскость, которая
делит тело на две зеркально равные
части, т.е. на части, связанные друг с
другом как предмет и его зеркальное
отражение (рис. 1.8).
Зеркальные плоскости симметрии в кристаллических многогранниках проходят перпендикулярно граням или ребрам через их середины или же идут вдоль ребер, образуя равные углы с одинаковыми гранями и ребрами.
Оказывается, однако, что действие инверсионной оси симметрии первого порядка эквивалентно действию центра симметрии; действие инверсионной оси симметрии второго порядка – действию зеркальной плоскости симметрии (2 m) , действие инверсионной оси симметрии третьего порядка – совместному действию центра симметрии и проходящей через него поворотной оси симметрии третьего порядка (3 = 1+3), а действие инверсионной оси симметрии шестого порядка – совместному действию поворотной оси симметрии третьего порядка и ей перпендикулярной зеркальной плоскости симметрии (6 = 3 + m3). Но инверсионные оси симметрии третьего и шестого порядков тем не менее имеют самостоятельное значение.
О
си
симметрии 3
и 6
обозначаются на чертежах значками
и
,
соответственно.
Таким образом, в кристаллических многогранниках встречается всего девять элементов симметрии:
1(С), 2 (L2), 3 (L3), 4 (L4), 6 (L6), 3 (L3), 4 (L4), 6 (L6) и m (P)*.
Максимально возможное число каждого из элементов симметрии, которыми может обладать кристаллический многогранник, приведено ниже:
-
Центров симметрии
1
Поворотных осей симметрии второго порядка
6
третьего порядка
4
четвертого порядка
3
шестого порядка
1
Инверсионных осей симметрии третьего порядка
4
четвертого порядка
3
шестого порядка
1
Зеркальных плоскостей симметрии
9