Тема 1.10. Пространственные группы симметрии и правильные системы точек

Бесконечные кристаллические решетки помимо элементов симметрии, свойственных конечным кристаллическим многогранникам (1, m, 2, 3, 4, 6, 3, 4, 6), могут обладать еще и такими вышеперечисленными элементами симметрии, как трансляции, плоскости скользящего отражения и винтовые оси симметрии.

Подобно тому, как классом симметрии кристаллического многогранника называется совокупность всех его элементов симметрии, совокупность всех элементов симметрии кристаллической решетки называется пространственной группой симметрии.

В 1890 г. один из основоположников современной структурной кристаллографии Е.С. Федоров теоретически обосновал, что возможных сочетаний элементов симметрии кристаллических решеток (пространственных групп) может быть только 230 (2 в триклинной сингонии, 13 – в моноклинной, 59 – в ромбической, 25 – в тригональной, 68 – в тетрагональной, 27 – в гексагональной и 36 – в кубической).

Международный символ пространственной группы симметрии состоит из большой латинской буквы (Р, I, А, В, С или F), указывающей решетку Бравэ, и одного, двух или трех числовых либо буквенных символов, характеризующих симметрию главных направлений. Эта часть международного символа пространственной группы составляется по тем же правилам, что и международный символ соответствующего класса симметрии, с той лишь разницей, что в символе пространственной группы некоторые или все элементы симметрии символа класса симметрии могут быть заменены сходственными элементами симметрии.

Например, при описании пространственных групп симметрии, относящихся к кубической сингонии, на первом месте в символе ставятся буквы Р, I или F, указывающие типы возможных решеток Бравэ. Буквы или цифры, стоящие на втором месте, определяют плоскости или оси симметрии, параллельные трансляциям в координатных направлениях <001>, т.е. проходящие параллельно ребрам элементарной ячейки. На третьем месте в символах пространственных групп симметрии кубической сингонии всегда стоит цифра 3, обозначающая оси третьего порядка, являющиеся направлениями типа <111>. Буквы или цифры, стоящие на четвертом месте, указывают, какие элементы симметрии параллельны направлениям <110>, т.е. проходят параллельно диагоналям граней. Если же элементы симметрии в этих направлениях отсутствуют, то цифра 3 является последней.

При изображении пространственной группы вычерчивается параллелограмм, представляющий собой ту или иную проекцию элементарной ячейки (обычно на плоскость, совпадающую с одной из ее граней). Элементы симметрии пространственной группы с помощью принятых графических обозначений наносятся на чертеж в соответствии с их размещением в элементарной ячейке.

Правильной системой точек пространственной группы называется система, которая получается из одной точки при повторении ее всеми элементами симметрии этой пространственной группы.

Правильные системы точек бывают общими и частными.

Если исходная точка является точкой общего положения, т.е. не лежит ни на одном из элементов симметрии (исключая винтовые оси и плоскости скользящего отражения) и не находится на равных расстояниях от одинаковых элементов симметрии, то получается общая правильная система точек.

Если же исходная точка не является точкой общего положения, то получается частная правильная система точек.

Число точек правильной системы, приходящихся на одну элементарную ячейку, называется кратностью. В одной и той же пространственной группе может быть несколько частных правильных систем, имеющих одинаковую кратность точек.

В зависимости от занимаемой в элементарной ячейке позиции положение точки точно фиксируется одной, двумя или тремя координатами (числами степеней свободы). Координаты точек записываются в долях соответствующих трансляций.

Кристаллические структуры, принадлежащие одной пространственной группе, могут отличаться друг от друга типом занятых правильных систем точек, числом занятых правильных систем точек и значениями координат х, у, z точки, принятой за исход­ную в одной и той же правильной системе.

Понятие правильной системы точек очень важно для теории внутреннего строения кристаллов, поскольку материальные частицы в реальных кристаллических структурах располагаются по правильным системам точек.

Вопросы для самопроверки

1. Чем различаются аморфное и кристаллическое состояния твердого вещества?

2. Какое твердое тело называют кристаллическим?

3. Что представляют собой узлы кристаллической решетки?

4. Как определяются кристаллографические индексы и как записы­ваются кристаллографические символы узлов, узловых рядов и узловых плоскостей?

5. Каковы принципы построения сферической, стереографической и гномостереографической проекций кристаллографических направлений и плоскостей? Как изображаются направления и плоскости в каждой из этих проекций?

6. Что представляет собой сетка Вульфа? Как с помощью сетки Вуль­фа измерить угол между двумя кристаллографическими направлениями или двумя кристаллографическими плоскостями?

7. Перечислите элементы симметрии, встречающиеся в кристалличе­ских многогранниках. Дайте определение каждому из этих элементов симметрии, опишите его действие, приведите буквенные обозначения и графические изображения.

8. Что понимают под классом симметрии кристаллов? Сколько клас­сов симметрии кристаллов существует?

9. Что понимают под сингонией? Перечислите сингонии кристаллов и укажите элементы симметрии, характерные для каждой из сингоний.

10. На какие категории делятся сингонии кристаллов и чем эти кате­гории различаются?

11. Что понимают под трансляцией? Сколько решеток Бравэ суще­ствует?

12. Какими условиями руководствуются при выборе ячеек Бравэ? Как обозначаются и чем различаются примитивные и непримитивные ячей­ки Бравэ?

13. Каковы соотношения между линейными и угловыми параметрами элементарных ячеек кристаллов разных сингоний?

14. Перечислите плоскости скользящего отражения и винтовые оси симметрии, встречающиеся в кристаллических структурах. Опишите их действие, приведите буквенные обозначения и графические изображения.

15. Что понимают под пространственной группой симметрии кристал­лов? Сколько пространственных групп симметрии кристаллов существует?

16. Что понимают под правильной системой точек? Каково значение этого понятия для структурного анализа и кристаллохимии?