24. Кратные интегралы (двойные, тройные): определение, основные свойства. Применение.

Пусть в n-мерном пространстве Rⁿ задана ограниченная область Ω с кусочно-гладкой границей Г (Ω`=Ω+Г) и на Ω (или Ω`) задана функция f(x)=f(x₁, …, x_n).

называется мерой множества Ω, а само множество Ω называется измеримым.

Разрежем Ω` на части Ω_j, пересекающиеся разве что по своим границам, которые будем считать кусочно-гладкими. Для краткости будем говорить, что мы произвели разбиение ρ множества Ω (способ разбиения не имеет значения).

Введем понятие диаметра множества Ω ­­– это есть точная верхняя грань .

Выберем в каждой части Ω_j по произвольной точке ξ^j=(ξ^j₁. …, ξ^j_n ) (ξ^j Ω_j) и составим сумму , которую будем называть интегральной суммой Римана функции f, отвечающей разбиению ρ.

Предел суммы ,

когда максимальный диаметр частичных множеств Ω_j стремится к нулю, называется кратным интегралом от функции f на Ω (или по Ω`).

Рассмотрим трехмерное пространство R³, в котором определена прямоугольная система координат (x, y, z). В нем задана непрерывная поверхность z=f(x, y), (x, y) Ω, где Ω – ограниченное двумерное множество, для которого возможно определить понятие его площади (двумерной меры). В качестве Ω может быть взят круг, прямоугольник, эллипс и т. д. Ставится задача: определить объем тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(x, y), снизу плоскостью z=0 и с боков цилиндрической поверхностью, проходящей через границу Г плоского множества Ω, с образующей, параллельной оси z. Решая задачу о нахождении объема, проводим рассуждения, аналогичные приведенным выше для n-мерного случая. Приходим в результате к определенному двойному интегралу (Римана)

.

Пусть теперь в трехмерном пространстве R³, где определена прямоугольная система координат (x, y, z), задано тело Ω (множество) с неравномерно распределенной в нем массой и плотностью распределения m(x, y, z) тела Ω. Решая эту задачу, приходим к определенному тройному интегралу (Римана)

.

Свойства кратного интеграла:

1. Линейность:

2. Аддитивность: если и Ø, то

3. Интегрирование неравенств: если f(x)≥g(x), то

4. Теорема о среднем: Пусть функции f(x) и g(x) ограничены и интегрируемы на множестве Ω, g(x) не меняет знака на Ω. Тогда существует такое число : .

25. Криволинейные и поверхностные интегралы. Определение. Основные свойства. Применение.

Криволінійні інтеграли першого типу

A B – спрямлювальна лінія.

Нехай f(x,y) – визначена на AB.

Розіб’ємо дугу AB на елементарні дуги: будемо розглядати елементарні дуги l_i=A_i-1A_i i=1,…,n.

l_i – довжина дуги.

На кожній дузі візьмемо точку M_i  A_i-1A_i.

Розглянемо интегральні суми .

Нехай =max {l_i}.

- криволінійний інтеграл першого типу.

Властивості

1. Незалежність від напрямку інтегрування:

2. Аддитивна властивість. AB=(AC)(CB), (AC)(CB)= .

3. Дістрибутивна властивість. .

4. .

5. .

6. Теорема про середнє значення. Якщо f(x,y) – неперевна на дузі AB, то .

Обчислення

1. Дуга задана параметрично. .

2. Дуга задана явно. AB: y=f₁(x), axb

Криволінійні інтеграли другого типу

Нехай P(x,y) і Q(x,y) – визначені і неперервні на дугі AB – спрямлювана. Розіб’ємо дугу AB на елементарні дуги: будемо розглядати елементарні дуги l_i=A_i-1A_i i=1,…,n. l_i – довжина дуги. На кожній дузі візьмемо точку M_k  A_k-1A_k. , - інтегральні суми.

- загальний криволінійний інтеграл другого типу.

Властивості

1. .

2. AB=(AC)(CB), (AC)(CB)= .

3. 

Обчислення

1. Дуга задана параметрично. .

2. Формула Гріна. .

Обчислення площі плоскої фігури