61. Решение нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона.

Этот метод весьма эффективен для решения алгебраических уравнений. Его основное преимущество состоит в том, что при сравнительно простой схеме вычислений он обладает быстрой сходимостью.

Пусть единственный корень уравнения

(1)

расположен внутри интервала , причем и непрерывны и сохраняют определенные знаки . .

Пусть начальное приближение известно. Заменим отрезком из ряда Тейлора

и за следующее приближение возьмем корень уравнения , т. е.

.

Вообще, если итерация известна, то следующее приближение в методе Ньютона определяется по правилу

, (2)

Начальное приближение и должно удовлетворять условию

(3)

Метод Ньютона называют также методом касательных, так как новое приближение является абсциссой точки пересечения касательной, проведенной в точке к графику функции , с осью .

Этот метод имеет квадратичную сходимость, т. е. в отличие от линейных задач погрешность на следующей итерации пропорциональна квадрату погрешности на предыдущей итерации: .

Для оценки точности приближения можно воспользоваться формулой

,

где ,

Метод Ньютона обладает очень быстрой сходимостью. Такая быстрая сходимость гарантируется лишь при очень хороших, т. е. близких к точному решению начальных приближениях. Если начальное приближение выбрано неудачно, то метод может сходиться медленно, либо не сойдется вообще.

62.Решение системы линейных алгебраических уравнений методом простой итерации.

Итерационные методы позволяют исследовать СЛАУ более высоких порядков, чем точные. Итерационные методы являются самоисправляющимися, т. е. ошибка, допущенная на одной из итераций, на последующих итерациях будет исправлена.

Этот простейший итерационный метод решения системы линейных алгебраических уравнений заключается в том, что система уравнений преобразуется к виду удобному для итерации

(1)

и ее решение находится как предел последовательности

, (2)

(если существует и он конечен, то является приближенным решением исходной системы).

Начальное приближение можно выбирать произвольно. Обычно в качестве начального приближения берут столбец свободных членов либо нулевой столбец. Конечное решение СЛАУ не зависит от выбора начального приближения. От выбора начального приближения зависит время решения задачи в целом.

Для приведения исходной системы к виду (1) практически поступают следующим образом. Из заданной системы выделяют уравнения с коэффициентами, модули которых больше суммы модулей остальных коэффициентов уравнения. Каждое выделенное уравнение выписывают в такую строку новой системы, чтобы наибольший по модулю коэффициент оказался диагональным.

Из оставшихся неиспользованных и выделенных уравнений системы составляют линейно независимые между собой линейные комбинации с таким расчетом, чтобы был соблюден указанный выше принцип комплектования новой системы, и все свободные строки оказались заполненными. При этом нужно позаботиться, чтобы каждое неиспользованное ранее уравнение попало хотя бы в одну линейную комбинацию, являющуюся уравнением новой системы.

Если коэффициенты и свободные члены данной системы являются приближенными числами, написанными с знаками, то для получения решения с числом десятичных знаков ( ) следует в значениях последовательных приближений удерживать десятичных знаков и последовательные приближения вычислять до их совпадения, после чего нужно округлить результат на один знак.

Апостериорная оценка погрешности

Оценку сходимости метода простой итерации можно провести по нормам матрицы.

Напомним определение основных норм в пространстве векторов и матриц. Если в пространстве векторов введена норма , то согласованной с ней нормой в пространстве матриц называют норму

Наиболее употребительны в пространстве векторов следующие нормы

, ,

а согласованными с ними нормами в пространстве матриц являются нормы

; ; ,

здесь - собственное значение матрицы , - матрица, сопряженная к матрице .

Итерационный процесс (2) сходится к решению системы со скоростью геометрической прогрессии, если норма , т. е. если выполняется хотя бы одно из условий

;

;

.

63. Розв’язування систем д.р. методом виключення.

Самый простой подход к решению систем линейных дифференциальных уравненийсостоитв исключении неизвестных функций с помощьюсложения двух уравнений, предварительно умноженных на подходящие множители. Цель этой процедуры— последовательное исключение неизвестныхфункцийдо техпор,поканеостанетсялишьодно уравнение, содержащее лишь одну неизвестнуюфункцию. Это оставшееся уравнение обычно будет линейным уравнением высшегопорядка и частоможетбытьрешенометодами.После того как его решение найдено, другие неизвестные функции можно найти по очереди, используя либо первоначальные дифференциальные уравнения системы, либо полученные в процессе исключения неизвестных. Метод исключения переменных для систем линейных дифференциальных уравнений аналогичен методу решения системы линейных алгебраических уравнений с помощью процесса исключения переменнных по одной до тех пор, пока не останется лишь одна неизвестная и одно уравнение. Он удобнее всего при решении достаточно малых систем: тех, которые состоят не более чем из двух-трех уравнений. Для таких систем метод исключения является простым и четким подходом, не требующим обширных предварительных знаний и громоздких вычислений.Но для больших системдифференциальных уравнений, как и длятеоретического изучения, более удобными являются матричные методы.

Линейным дифферен-

циальным оператором порядка n с постоянными коэффициентами называется оператор

L = a_nDⁿ + a_n−1Dⁿ⁻¹+…+а₁D+а₀ (1)

где D обозначает операцию дифференцирования по независимой переменной t. Если L₁и L₂ — два таких оператора, то их произведение L₁L₂ определяется следующим образом:

L₁L₂[x] = L₁[L₂x].

Два линейных дифференциальных оператора с постоянными коэффициентами можно перемножать так, как обычные многочлены относительно “переменной” D. Из коммутативности умножения многочленов следует, что

L₁L₂[x] = L₂L₁[x]

в случае, когда требуемые производные функции x(t) существуют. Заметим, что, в отличие от операторов с постоянными коэффициентами, линейные операторы с переменными коэффициентами свойством коммутативности не обладают.

Любая система двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами может быть записана в виде

L₁x + L₂y = f₁(t),

L₃x + L₄y = f₂(t), (2)

гдеL₁,L₂,L₃ иL₄ —линейные дифференциальные операторы(возможно различных порядков), заданные равенствами типа (1), а f₁(t) и f₂(t) - заданныефункции.

Чтобы исключить зависимуюпеременнуюx из системы (2), подействуем оператором L₃ на первое уравнение и оператором L₁ — на второе. Тогда получим систему

L₃L₁x + L₃L₂y = L₃f₁(t),

L₁L₃x + L₁L₄y = L₁f₂(t).

Вычитая первое уравнение от второго, получим следующее (единственное) уравнение

(L₁L₄ − L₂L₃)y = L₁f₂(t) − L₃f₁(t) (3)

с одной зависимой переменной y. Решив это уравнение, получим функцию y = y(t). Затем подставим ее в какое-либо из исходных уравнений (2), решив которое, получим x = x(t).

В качестве альтернативы аналогичным образом можно исключить из исходной системы (2) зависимуюпеременную y. В этом случае мы получим уравнение

(L₁L₄ − L₂L₃)x = L₄f₁(t) − L₂f₂(t) (4)

которое теперь можно решить относительно неизвестной функции x = x(t).

Заметим, что в левой частиобоих уравнений(3) и(4)появляется одинитотже оператор L₁L₄ − L₂L₃. Это определитель-оператор

Это определитель оператор системы (2).

C помощьюопределителей уравнения (3) и (4) можно переписать так:

; (5)

Определители в правой части уравнений (5) выражаются с помощью

операторов,действующихнафункции.

Уравнения (5) оченьпохожи на правилоКрамера решения системы двух линейных уравнений от двух (алгебраических) переменных и потому их легко запомнить.Действительно, систему двух линейных дифференциальных уравнений

можно решить либо только что описанным методом последовательного сключения переменных,либоспомощьюнепосредственногоиспользованиядетерминантоввформулах(5).