Двійкова система числення.

Двійкова система числення лежить в основі роботи цифрової техніки. Двійкова система числення - це система, в якій для запису чисел використовують дві цифри: 0 і 1. Основою війкової системи числення є число 2. Як і в десятковому числі, кожна цифра війкового числа займає певну позицію. Для запису числа в двійковій системі використовується подання цього числа за допомогою степенів числа 2.

Спочатку наведемо таблицю значень степенів числа 2.

(опідіоскоп, або тел. yст.)

Скориставшись цією таблицею можна записати:

0 = 0×20

1 = 20 = 1×20

2 = 21 = 1×21 + 0×20

3 = 2+1 = 21+20 = 1×21 + 1×20

4 = 22 = 1×22 = 0×21 + 0×20

5 = 4+1 = 22+20 = 1×22 + 0×21 + 1×20

25 = 16+8+1 = 24+23+20 = 1×24 + 1×23 + 0×22 + 0×21 + 1×20

У загальному вигляді розгорнуту форму для цілого невід’ємного війкового числа можна записати так:

An×2n + An-1 × 2n-1 + …+A1×21 + A0×20 (2)

Коефіцієнтами An, An-1 …, A1, A0 у цьому виразі є війкові цифри 0 і 1, причому An=1. Запис числа у двійковій системі відбувається так само, як і в десятковій: першою записується цифра An, другою – цифра An-1 і т.д., останньою - A0.

Двійковий код числа – запис цього числа в двійковій системі числення. Таким чином, війковим кодом числа є послідовність коефіцієнтів AnAn-1 … A1A0 з формули (2).

У наведених прикладах двійкові коди мали вигляд:

0 = 02

1 = 12

2 = 102

3 = 112

4 = 1002

5 = 1012

25 = 110012

Коефіцієнти у формулі (2) повинні приймати тільки одне з двох значень: 0 або 1. Старший коефіцієнт An завжди дорівнює 1, тобто віковий код завжди починається з 1.

Крім 10с/ч і 2с/ч, в цифровій техніці широко використовують вісімкову і шістнадцяткову системи числення. Вісімкова система числення – це система числення, що має основу число 8. Цифри, які використовують у вісімковій системі іислення: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 16с/ч – це система числення, що за основу має число 16. Цифри, які використовують у 16с/ч: 0, 1, 2, ., 14, 15. Десяткові цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 зберігають свої значення і в 16с/ч, а решта числом від 10 до 15 відповідають такі значення: 1010 = А 1310 = D

1110 = B 1410 = E

1210 = C 1510 = F

Переведення десяткових чисел у числа інших систем числення.

У практичній роботі часто буває потрібно перетворювати числа десяткової системи числення в числа будь-якої іншої системи. Для цього користуються правилами ділення десяткового числа на основу тієї системи числення, в яку треба перетворити дане число.

15. Застосування теорії операційного числення до розв’язання диференціальних рівнянь.

Идея решения дифференциального уравнения операционным методом состоит в том, что от дифференциального уравнения относительно искомой функции-оригинала f(t) переходят к уравнению относительно другой функции F(p), называемой изображением f(t). Полученное (операционное) уравнение обычно уже алгебраическое (значит более простое по сравнению с исходным). Решая его относительно изображения F(p) и переходя затем к соответствующему оригиналу, находят искомое решение данного дифференциального уравнения.

Операционный метод решения дифференциальных уравнений можно сравнить с вычислением различных выражений при помощи логарифмов, когда, например, при умножении вычисления ведутся не над самими числами, а над их логарифмами, что приводит к замене умножения более простой операцией – сложением.

Один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев посредством простых правил решать сложные математические задачи. О. и. имеет особенно важное значение в механике, автоматике, электротехнике и др. В основе метода О. и. лежит идея замены изучаемых функций (оригиналов) некоторыми др. функциями (изображениями), получаемыми из первых по определённым правилам (обычно, изображение — функция, получаемая из данной Лапласа преобразованием). При такой замене оператор дифференцирования р = 

         Для развития О. и. большое значение имели работы английского учёного О. Хевисайда. Он предложил формальные правила обращения с оператором р =  f (t), 0 ≤ t < + ∞, переходит в функцию F (z), z = x+iy:

         f (t) → F (z), то производная

         f (t) → zF (z) – f (0) (*) и интеграл

         

         Следовательно, оператор дифференцирования р переходит в оператор умножения на переменную z, а интегрирование сводится к делению на z. В след. краткой таблице даны (при t ≥ 0) примеры соответствия

        

ригинал →	изображение
| f (t)	F (z)
1	1/z
t n	n!/z n+1 (n > 0 – целое)
е λt	1/(z – λ)
cos wt	z/(z 2 + ω2)
sin wt	ω/(z 2 + ω2)