74. Числовые посл-ти.

Опр. Ф-я f:N X, обл-ю опр-я кот-й явл. множество нат. чисел, наз. последовательностью.

Если f:N R, то посл-ть наз. числовой. Иначе, числовая посл-ть – это функция натурального аргумента: x_n = f(n). Обозначают числовую посл-ть {x_n}.

Пр. числовых посл-тей:

1) 1,2,..., n,...; 2) 1,-1,1,-1,...,(-1)ⁿ,...; 3) 1,1/2,1/3,...,1/n,.... Опр.Посл-ть наз. ограниченной сверху (снизу), если  M (m), такое, что  n N x_n M (x_n m).

Посл-ть наз. ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, то есть  c > 0  n N такое, что |x_n|  c . Заметим, что в данном определении c=max{|m|,|M|}.

Пример.

1. 1,2,...,n,... — огр. снизу, но неогр. сверху;

2. 2. {1/n} – огр., так как 0< x_n 1 ;

3. 3. {(-1)ⁿ} – огр.

Опр. Посл-ть x_n наз. неограниченной, если

 c>0  N: |x_N| > c

Неогр. Посл-ть может быть односторонне огр., то есть огр. или сверху, или снизу.

Пр. неогр. сверху посл-ти:

x_n = n.

Ббп и бмп.

Опр. x_n – ббп, если  c>0  N:  n>N |x_n|>c.

Пр . Посл-ти n, 2ⁿ явл. ббп.

Следует различать неогр. и бесконечно большую посл-ти. Всякая бесконечно большая посл-ть явл. неогр-ой, однако неогр-я не обяз. явл. бесконечно большой.

Пр. Пусть x_n = 1,1/2,3,1/3,5,1/4,..., нетрудно заметить, что данная посл-ть сост. из двух составляющих, а именно x_2k-1 = 2k-1,

x_2k = 1/(k+1). Данная посл-ть неогр., т.к. сод. неогр-ю составляющую x_2k-1 = 2k-1, но не явл. бесконечно большой, так как содержит вторую часть x_2k = 1/(k+1).

Опр. x_n – бмп, если

1.  ε>0  N:  n≥N x_n U_ε(0)

(x_n (0-ε,0+ε) -ε< x_n <+ε.)

2.  ε>0  N:  n≥N |x_n|<ε.

Пр. x_n = 1/n – бмп

Лемма . Если _n —бмп, то 1/ _n —ббп.

Пр . Пусть _n = 1/n – бмп, тогда _n=1/_n=n будет ббп.

Теорема (свойства бмп)

1. Сумма и разность двух бмп явл. бмп.

2. Произведение огр. посл-ти на бмп явл. бмп.

Следствие 1. Произведение конечного числа бмп явл. бмп. Алгебраическая сумма конечного числа бмп явл. бмп.

Предел посл-ти.

Опр. x_n наз. сх-ся к числу a (a= lim _{n } x_n) если

1. {x_n-а} - бмп.2.  ε>0  N:  n≥N |x_n-а|<ε3.  ε>0  N:  n≥N x_n U_ε(а)

Опр. x_n наз. расх-ся если

а  ε>0  N:  n≥N |x_n-а|≥ε

Св-ва сх-ся посл-тей.

1. Если посл-ть сх-ся, то предел единственен.

2. Сх-ся посл-ть ограничена.

Арифм. Операции над посл-тями.

Опр. Если x_n,y_n – числовые посл-ти, то их суммой, разностью, произведением, частным при y_n 0 наз-ют соотв-но посл-ти

{(x_n y_n)},{(x_ny_n)},{(x_n/y_n}.

Теорема (предел суммы, произведения, частного). Пусть

lim_nx_n = A, lim_ny_n = B,

тогда

1.lim_n(x_n y_n) = A B; 2.lim_nx_ny_n = AB; 3.lim_nx_n/y_n = A/B, при B 0.

Подпосл-ть.

Опр. Посл-ть {x_nk}, кот. составлена из членов посл-ти {x_n} и в кот. порядок следования эл-тов совпадает с их порядком следования в исх. посл-ти {x_n} наз. подпосл-тью этой посл-ти.

Св-ва подпосл-тей

1. Номер эл-та в подпосл-ти боьше номера эл-та посл-ти (n k_n≥n)

2. Если посл-ть сх-ся, то любая подпосл-ть сх-ся к тому же пределу.

3. Если все подпосл-ти посл-ти сх-ся, то они сх-ся к одному и тому же пределу.

Опр1 xR наз. предельной точкой посл-ти x_n если  подпосл-ть x_nk сх-ся к x.

Опр2 xR наз. предельной точкой посл-ти x_n если в любой ее окр-ти нах. бесконечное число элементов посл-ти.

Опр1 и Опр2 – эквивалентны.

Пусть Р={а} – мн-во всех пред-х т. посл-ти

Опр - верхний предел посл-ти

Опр - нижний предел посл-ти

Теорема. Если x_n ограничена, то  и .

Следствия

1. Если посл-ть ограничена, то вне инт-ла ( -ε, +ε) нах-ся лишь конечное число эл-тов посл-ти.

2. Пусть вне инт-ла (a,b) лежит лишь конечное число эл-тов посл-ти, тогда ( , ) (a,b).

3. (теорема Больцано - Вейерштрасса)

из любой сх-ся посл-ти можно выделить сх-ся подпосл-ть.

Теорема. Посл-ть сх-ся т. и т. т., к.

1. Она ограничена

2. =