55. Понятие функции комплексной переменной. Предел, непрерывность, производная функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана дифференцируемости функции.

Функция комплексной переменной

Непрерывнось функции

f(z) называется непрерывной в т. если

Производная

f(z)-непрерывная в D

Предположим существует производная в т. : f(z)-дифференцируемав т.

1. По горизонтальной оси:

2. По вертикали

Условие Коши-Римана

(Необходимое условие)

Если ф-ция дифференцируема в т. , то выполняется условие Коши-Римана

Достаточное условие диференцируемости

Пусть f(z) в т. удовлетворяет условиям:

1. U и V являются дифференцируемыми как ф-ции двух вещественных переменных

2. U и V удовлетворяют условию Коши-Римана, тогда f(z) дифференцируема в т.

Функция наз-ся аналитической в точке, если она дифференцируема в этой точке и некоторой ее окрестности

56. Понятие функции. Способы задания функций и их классификация. Определение предела функции в точке по Гейне и по Коши и их эквивалентность. Замечательные пределы. Сравнение аналитического поведения функций.

Определение 1. Будем говорить, что a –предельная точка для множества E, если любая окрестность точки a содержит бесконечное подмножество множества E.

Пусть f:E  R. Приведем несколько формулировок определения предела функции. Для разных оценок бывает удобна то одна, то другая.

Определение (предел функции по Коши). Число A R называется пределом функции f(x) в точке a или при x a и это обозначается следующим образом lim_{x  a}f(x) = A, если

 > 0 ()>0:  x: 0<|x-a|<  |f(x)-A|< 

Определение (предел функции по Гейне). A=lim_{x  a}f(x) означает, что

 x_n  a при n ; x_n  a, f(x_n)  A при n 

Первый замечательный предел

lim_{x 0}(sin x)/x = 1

Доказательство.

1. Покажем, что

cos ²x<(sin x)/x<1 при 0<|x|</2.

Так как cos²x,(sin x)/x - четные функции, то достаточно рассмотреть случай 0<x</2. Из рис. 15 и определения функций cos x и sin x, сравнивая площади сектора OCD, треугольника  OAB и сектора OAB, найдем

Разделив эти неравенства на (1/2) x, получим требуемый результат.

2. Из выше полученного результата следует, что

|sin x||x|  x R.

3. Из 2) по теореме о предельном переходе в неравенствах вытекает, что

lim _{x 0}sin x = 0.

4. Теперь покажем, что

lim_{x 0}(sin x)/x = 1.

Cчитая, что |x|</2, в силу полученного в 1) неравенства имеем

1-sin²x<sin x/x<1.

Но lim_{x 0}(1-sin ²x) = 1, значит, по теореме о предельном переходе в неравенствах следует, что

lim_{x 0}(sin x)/x = 1.

Следствие 1.

lim_{x  0}(tgx)/x = 1 lim_{x  0}(arcsin x)/x = 1

Второй замечательный предел

e = lim_{x }(1+1/x)^x

Как получена данная формула можно найти в книге Зорича В.А. "Математический анализ" ч.1.

Если в данной формуле положить y = 1/x, то получим вторую запись данной формулы.

lim_{x  0}(1+x)^1/x = e.

Определение (бесконечно малая функция). Функция называется бесконечно малой в точке a или при x a, если

lim_{x  a}f(x) = 0

Пример 10. f(x) = 1/x, x  f(x) = x², x  0 f(x) = 1-cos x, x  0

Заметим, что если функция f(x) имеет предел в точке a, равный A, то функция  (x) = f(x)-A является бесконечно малой в точке a. То есть, если функция f(x) имеет предел A в точке a, то f(x) = A+, где lim_{x a} (x) = 0.

Отметим некоторые свойства бесконечно малых функций.

Определение (бесконечно большая функция). Функция называется бесконечно большой при x a или в точке a, если для любого положительного числа  найдется такое положительное (), что для всех x a и удовлетворяющих условию |x-a|< будет выполнено неравенство |f(x)|> .

Аналогично можно дать определение бесконечно большой при x. Приведем его в символической записи:

lim_xf(x) = >0 ()>0  x:|x|> |f(x)|>.