57.Прямая на плоскости. Уравнение прямой на плоскости в прямоугольной сис. Координат.

Параметрич-ие ур-ия прямой, проходящей через т.М(х,у)|| а(а_х, а_у): (1)

Если выделить t, мы получим каноническое ур-ие прямой, проходящей через т.М || :

(2)

Ур-ия (2) явл-ся частным случаем общего ур-ия прямой. (3)

(3)

Разделим обе части общ.ур-ия (3) на (-с):

(4)

Ур-ия (4) – ур-ия прямой в отрезках на осях. Прямая (4) отсекает на осях ху отрезки длиной |α|, |β|. Если общ.ур-ия прямой (3) разделить на , получим нормальное

ур-ие прямой:

- нормирующий множитель.

Если мы в левую часть этого равенства вместо х, у подставим координаты точки, не лежащ.на данной пл.-ти, то получим с точностью до знака расстояние от точки до прямой.

Если , то y=kx+d , где к – угловой коэф-т. - угол наклона между прямой и осью. Если у нас заданы: то

- угол между прямыми вида (3).

Две прямые ┴-ны, если где , - нормальные векторы прямых.

k₁k₂= -1 -усл-е ┴-сти прямых.

k_{1 =} k_{2 -} усл-е | |-сти прямых.

58.Ранг матрицы, способы его вычисления. Теорема Кронекера – Капелли.

Ранг матрицы. Пусть А=( ) – матрица размера . Выберем какие-нибудь k строк и k столбцов матрицы А (k не превосходит наименьшего из чисел m, n). Минором k-го порядка матрицы А называется определитель, составленный из элементов, находящихся на пересечении выбранных строк и столбцов.

Ранг матрицы А (rank A) – наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг матрицы может быть найден и без вычисления различных миноров этой матрицы. Этот метод основан на использовании элементарных преобразований над строками и столбцами матрицы, не меняющих ее ранга:

1. перемена местами двух строк или столбцов;

2. умножение строки или столбца на отличное от нуля число;

3. прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на некоторое число.

С любой матрицей можно связать строчный (столбцовый) ранг – число максимально линейно независимых строк (столбцов) матрицы. Столбцовый и строчный ранги совпадают, и это число называется рангом матрицы. Для его нахождения матрицу А при помощи элементарных преобразований приводят к ступенчатому виду (чаще к верхней треугольной матрице) и подсчитывают количество ненулевых строк (столбцов).

Исследование неоднородных СЛАУ. Рассмотрим m линейных уравнений с n неизвестными: .

А – основная матрица системы, В – столбец свободных членов, - расширенная матрица системы.

Теорема Кронекера – Капелли: Неоднородная СЛАУ совместна (имеет хотя бы 1 решение)  . Если , то система имеет единственное решение. Если , то система имеет более одного решения.

60.Решение задачи коши для обыкновенного диф. Ур. Методом эйлера

F (x, y, y, y… y⁽ⁿ⁾) = 0 – обыкн. диф. уравнение. (1)

Иногда диф. ур. удается выразить произвольной высшей степени:

y⁽ⁿ⁾ = f (x, y, y, y, …, y^(n-1) ) (2)

Для (1), (2) имеет место три основных задачи: задача Коши, краевая задача и задача на собственное значение.

Для диф. ур. (2) можно сформулировать теорему о существовании и единственности решения уравнения.

В частном случае (2) можно записать диф ур.-ем первого порядка: y= f (x, y) (3)

Теорема Коши: если функция f (x, y) и f_у – непрерывны в области определения, то существует единственное решение у (х), удовлетворяющее начальному условию.

у_{х =х0} = у₀ у (х₀) = у. (4)

След.-но общее решение (3): у =  ( х, с ), (с – const)

Частное решение : у =  ( х, с₀ ).

Если обратиться к (2), то решение имеет вид у =  ( х, с₁, с₂, …, с_п ), где const.-ы определяются из : (5)

Для решения обыкн. диф. ур. как первого, так и высших порядков существует аналитич. методы, уже известные нам. Но при более сложных видах уравнений и нач. условий эти методы не позволяют дать решение. След.-но прибегают к числ. методам, для реализации кот. вводится понятие сетки. Отрезок [a,b] , на кот. ищется решение, разбивается на n частичных с шагом h. Если h = const, т.е. сетка является равномерной, то

x_k = x₀ + k h (k = 1,2,..)

В основе числ. решения лежит идея замены диф. ур. его дискретным аналогом.

(а₀)  0 (6)

Получение решения определяется по к предыдущим решениям. Этот метод наз. многошаговым. При к =1 – одношаговый

(7)

К одношаговым методам относ.: мет. Эйлера, видоизмен. мет. Эйлера, мет. Рунге-Кутта.

В (3) вместо независ. переменной х может быть t, следовательно, изучаются процессы, связанные со временем. Важной становится схема, по кот. реализуется решение (7):

1) явная схема: y_n+1 = y_n+ f (x_n, y_n ) h (8)

2 )неявная схема:

y_n+1 = y_n+f (x_n, y_n, y_n+1 ) h (9)

1)последнее решение ищется через предыдущее, 2) для нахождения последнего реш.-я надо решать систему нелинейных уравнений.

Выбор схемы влияет на скорость схождения решения и зависит от постановки задач.

Метод Эйлера. Пусть дано обыкн. диф. уравнение (1) с нач. условиями (2):

y= f (x, y) у (х₀) = у₀

у (х₀, у₀) = f (x₀ , y₀ )= tg ₀. В точке М₁ ищем y :

у (х₁, у₁) = f (x₁ , y₁ )= tg _1.

Полученная ломаная, наз. ломаной линией Эйлера, и есть решением уравнения.

При х_і = х_і+1 – х_і  0 и ломанная линия Эйлера  к истинному решению y= f (x) в силу теоремы Коши.

у₀ , у₁ = у₀ + f (x₀ , y₀ ) h , у₂ = у₁ + f (x₁ , y₁ ) h, … у_п+1 = у_п + f (x_п , y_п ) h.

Для удобства составляем таблицу

х	у	f (x, y)	f (x, y) h
х0	у0	f (x0, y0)	f (x0, y0) h
х1	у1	f (x1, y1)	f (x1, y1) h
…….