24. Методика изучения показательной функции.

Степень с иррациональным показателем. Зафиксируем по­ложительное число а и поставим в соответствие каждому числу m/n — число а^m/n. Тем самым получим числовую функцию f(x) = a^x, определенную на множестве Q рациональных чисел. При а=1 функция f(x)=a^х постоянна, так как 1^х=1 для любого рационального х.

Нанесем несколько точек графика функции у = 2^х, предва­рительно вычислив с помощью калькулятора значения 2^х на отрез­ке [-2; 3]с шагом-1/4, а затем с шагом -1/8. Продолжая мысленно такие же построения с шагом 1/16,1/32 и т. д.,

мы видим, что получающиеся точки можно соединить плавной кривой, которую естественно считать графиком некоторой функ­ции, определенной и возрастающей уже на всей числовой прямой

и принимающей значения 2^m/n в рациональных точках х=m/n. Построив достаточно большое число точек графика у=(1/2)^х , можно убедиться в том, что аналогичными свойствами обладает и эта функция (Убывает на R)

Эти наблюдения подсказывают, что можно так определить числа 2^a и 1/2^a для каждого иррационального а, что функ­ции, задаваемые формулами у = 2^Х и у=(1/2) ^[ будут непрерыв­ными, причем функция у = 2^х возрастает, а функция у=(1/2)^х убывает на всей числовой прямой.

Опишем в общих чертах, как определяется число a^a для иррациональных а при а>1. Мы хотим добиться того, чтобы функция у = а^х была возрастающей. Тогда при любых рациональ­ных r1 и r2, таких, что r1<а<г₂, значение a^a должно удовлет­ворять неравенствам a^r1<a^a<a^r2.

Выбирая значения г1, и г₂, приближающиеся к х, можно заме­тить, что и соответствующие значения a^r1 и а^г2 будут мало отли­чаться. Можно доказать, что существует, и притом только одно, число у, которое больше всех a^r1 для всех рациональных r1 и меньше всех а^r2 для всех рациональных г₂. Это число у по определению есть a^a.

Аналогично определяется число a^a для 0<а<1, Кромке полагают 1^а=1 для любого а и 0^a=0 для а>0.

2. Свойства показательной функции.

Определение Функция, заданная формулой у =а^х (где a>0, a^l), называется показательной функцией с основани­ем а.

Сформулируем основные свойства показательной функции (их доказательство выходит за рамки школьного курса).

1 . Область определения — множество R действительных чисел.

2. Область значений — множество R+ всех положительных действительных чисел.

3. При а > 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<а<1 функция убывает на множестве R.

4. При любых действительных значениях х и у справедливы равенства 1. a^ха^у=а^х+у 2. а^х/а^у=а^х-у 3. (ав)^х =а^хв^х 4.(а/в)^х=а^х/в^х 5. (а^х)^у=а^ху – основные cв-ва степеней

25.Методика изучения логарифмической функции. Взаимно-обратные функции.

Основная цель – ознакомить учащихся с логарифмической функцией, ее свойствами и графиками, научить решать логарифмические уравнения и неравенства.

Систематизация свойств логарифмической функции осуществляется в соответствии с принятой схемой. Производится обзор свойств данной функции в зависимости от параметров. В ходе изучения свойств этой функции учащиеся систематически решают логарифмические уравнения и неравенства.

Пусть а – положительное число, не равное 1.

Дать определение. Функцию, заданную формулой , называют логарифмической функцией с основанием а.

Перечислить основные свойства логарифмической функции:

1. Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел. Каждое положительное число x имеет логарифм по основанию а.

2. Область значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел. По определению логарифма любого действительного y справедливо равенство: , т. е. функция принимает значение y в точке .

3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при a > 1) или убывает (при 0 < a <1).

Докажем, что при а>1 функция возрастает

Пусть х₁ и х₂ — произвольные положительные числа и х₂>х₁. Надо доказать, что log_a x₂>log_a х₁. Допустим против­ное, т. е. что

log_a x2<log_ax₁

Так как показательная функция y = а^х при а>1 возра­стает, из неравенства следует:

(4)

Но (по определению логарифма), т. е. неравенство (4) означает, что . Это противоречит допущению х₂>х₁

П остроить графики логарифмической функции

Д ля построения графика заметим, что значение 0 лога­рифмическая функция принимает в точке 1; log_a 1=0 при лю­бом а>0, так как а⁰=1. Вследствие возрастания функции при а>1 получаем, что при х > 1 логарифмическая функция принимает положи­тельные значения, а при 0<x<1 — отрицательные.

Если 0<а<1, то y= log_ax убывает на R ₊ , поэтому log_a х > 0 при 0 < x < 1 и log_a х < 0 при х > 1.

Опираясь на доказанные свойства, нетрудно построить график функции y = log_ax

Графики показат и логарифмич ф-ии, имеющих одинаковое основание, симметричны относительно прямой у=х

Рассмотреть примеры применения свойств логарифмической функции:

1) Найти область определения функции .

Область определения лог. Функции – множество R₊ . поэтому заданная функция определена только для тех х, при которых 4 -5х>0, т.е. х<0.8 следовательно обл определения является интервал (- ; 0,8)

2) Найти область определения функции . Аналогично D(f)=

3) Найти область определения функции . Аналогично решая методом интервалов (-3/2; 5/7)

4) Сравнить числа а) log и log ; б) log и log ; в) log и log .

1. Лог. Функция с основанием, большим 1, возрастает на всей числовой прямой. Так как 7>5, то log > log

2. В данном случае основание лог. Меньше 1, поэтому функция log убывает, и, следовательно log < log

3. 10>9=3² и поэтому log >2 , но с др. стороны 12<16=4² и следовательно log <2. итак log > log

5) Что больше: или ? По основному свойству лог. = так как = и 10<21, основание лог 2 больше 1 и тогда < => >