27. Методика введения понятия производной. Производная элементарных функций. Приложение производной.

Производная. Основная цель – сформировать понятие о производной; выработать умение находить производные, пользуясь правилами и формулами дифференцирования. При рассмотрении понятий приращения аргумента и приращения функции следует уделить внимание не только нахождению приращений по формулам, но и графической интерпретации этих понятий. Понятие о непрерывности функции и предельном переходе не является обязательным материалом и могут быть опущены. Формирование понятия предела функции не предусматривается. Цель рассмотрения несложных примеров вычисления производной по определению – отработка понятия производной, а не выработка навыка. Применение производной. Основная цель – познакомить учащихся с методами дифференциального исчисления, сформировать умение применять их для решения задач. Первая задача: вывод уравнения касательной к графику дифференцируемой функции, приложение к приближенным вычислениям, нахождение скорости при неравномерном движении, исследование функций, решение прикладных задач на нахождение наименьших и наибольших значений функции.

Роль и место темы в школьном курсе математики. Основные цели изучения темы.

Понятие производной функции является одним из важнейших понятий курса математического анализа, т.к. это понятие является основным в дифференциальном исчислении и служит исходной базой при построении интегрального исчисления – это понятие вводится в 10 классе, в 11 классе изучаются производные а^х и log_ax. Основные цели изучения: а) ввести понятие производной, научить производным функций в случаях, не требующих трудоемких выкладок; б) познакомить учащихся с простейшими методами дифференциального исчисления и выработать умение применять их для исследования функций и построения графиков, решения задач прикладного характера, подготовить необходимый аппарат для изучения геометрии и физики. При изучении темы проявляются известные трудности, связанные с осуществлением предельного переходов. Поэтому необходимо придать изложению более наглядный и конкретный характер. Мотивировкой к введению понятия предела служит известная учащимся задача оценки точности приближенных вычислений. Вводятся понятия приращения аргумента, приращения функции и соответствующие обозначения. Учитель должен знать, что включенные в курс сведенья о пределах имеют вспомогательный характер. Они необходимы для вывода формул производных.

Методика введения понятия производной. Вводятся понятия приращения аргумента, приращения функции и соответствующие обозначения. Геометрический смысл этих понятий целесообразно проиллюстрировать на рисунке 1 понятие 1) Dx=x-x₀ 2) Df=f(x₀+Dx)-f(x₀)=Dy. 2 понятие: секущая к графику функции – прямая, проходящая через две точки графика. 3 понятие: угловой коэффициент секущей. Повторить угловой коэффициент прямой у=kх+b, он равен тангенсу угла наклона прямой. Угловой коэффициент секущей, проходящей через точку (х₀, у₀) и (х, у) равен отношению . Показать, что . 4 понятие: скорость изменения функции f на отрезке [x₀; x₀+Dx] – . Введению понятия производной предшествует рассмотрение задач, приводящих к этому понятию: а) задача о проведении касательной к графику функции, б) задача о мгновенной скорости движения. После рассмотрения конкретных примеров (проведение касательной к графику функции у=х² и нахождение мгновенной скорости тела, брошенного вверх со скоростью V₀), подчеркнуть – эти задачи имели различные формулировки, однако в обоих случаях мы действовали по одной схеме. В применении к производной функции f и любой точке х₀ ее области определения – эта схема может быть описана следующим образом: 1) находятся приращение f в точке х₀ Df=f(x₀+Dx)-f(x₀), 2) находится (отношение), 3) выясняется к какому числу стремится при Dx®0. Найденное таким образом число иногда называют скоростью изменения функции f в точке х₀ или производной функции f в точке х₀. Понятие о производной. Понятие о касательной к графику функции, мгновенная скорость движения. Производная. Производной функции f в точке х0 называется число, к которому стремится разностное отношение при Dх, стремящемся к нулю. Правила вычисления производной. 1,2. Если функции u и v дифференцируемы в точке х0, то их сумма (произведение) дифференцируема в этой точке и (u+v)’=u’+v’ ((uv)’=u’v+uv’). 3. Если функция u дифференцируема в точке х0, а С – постоянная, то функция Сu дифференцируема в этой точке и (Cu)’=Cu’. Если функции u и v дифференцируемы в точке х0 и функция v не равна нулю в этой точке, то частное u/v также дифференцируемо в точке х0 и (u/v)’=(u’v-uv’)/v². Производная степенной функции. (xⁿ)’= nx^n-1 (доказывается на рассмотрении примеров степеней 2, 3, 4). Доказательство первого утверждения: 1) Для доказательства вычислим сначала приращение суммы функций в рассматриваемой точке: D(u+v) = u(x0+Dx) + v(x0+Dx) – (u(x0) + v(x0)) = (u(x0+Dx) – u(x0)) + (v(x0+Dx) – v(x0)) = Du + Dv. 2) D(u+v)/Dx = Du/Dx + Dv/Dx. 3) Функции u и v дифференцируемы в точке х0, т.е. при Dx®0 Du/Dx®u’, Dv/Dx®v’. Тогда D(u+v)/Dx®u’+v’ при Dx®0, т.е. (u+v)’ = u’ + v’. Производная сложной функции. Если функция f имеет производную в точке х0, а функция g имеет производную в точке у0=f(х0), то сложная функция h(х)=g(f(х)) также имеет производную в точке х0, причем h’(x0)=g’(f(x0))f’(x0). Производные тригонометрических функций. (sinx)’=cosx, (cosx)’=-sinx, (tgx)’=1/cos²x, (ctgx)’=-1/sin²x.

Применение производной. Одной из центральных тем курса алгебры и начала анализа является тема применение производной. В этой теме понятие производной выступает как средство изучения других вопросов математики: применение производной к приближенным вычислениям, исследованию функции и построению графика, решению текстовых задач на отыскание наибольшего и наименьшего значения функции. Необходимость подчеркнуть, что понятие производной используется для изучения многообразных явлений и процессов действительного мира. С помощью этого понятия получают единственную трактовку таких понятий как: скорость химической реакции, мгновенная скорость прямолинейного движения, сила тока в цепи, мгновенная плотность неоднородного стержня и т.д. Существенная роль отводятся наглядному представлению о производной. Опора на геометрический и методический смысл делает интуитивно-ясным критерий возрастания и убывания функции, признаки максимума и минимума.

Касательная. Угловой коэффициент касательной равен f’(х0). Уравнение касательной. y=f(x0)+f’(x0)(x-x0). Приближенные вычисления. f(x)»f(x0)+f’(x0)Dx. Механический смысл производной. V’=x’(t), производная от координаты по времени есть скорость, a=V’(t), производная от скорости по времени есть ускорение. Признак возрастания (убывания) функции. Достаточный признак возрастания функции. Если f’(x)>0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I. Достаточный признак убывания функции. Если f’(x)<0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I. Критические точки функции, максимумы и минимумы. Необходимое условие экстремума. Если точка х0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f’, то она равна нулю: f’(x0)=0. Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0, а f’(x)>0 на интервале (а;х0) и f’(x)<0 на интервале (х0;b), то точка х0 является точкой максимума функции f. Признак минимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0, а f’(x)<0 на интервале (а;х0) и f’(x)>0 на интервале (х0;b), то точка х0 является точкой минимума функции f.

Применение производной к исследованию функции: В 10 классе производная появляется как средство исследования функции. Необходимо дать общую схему исследования функции с помощью производной: 1. Нахождение области определения функции. 2. Выясняют, является функция четной или нечетной, периодической. 3. Находят точки пересечения графика функции с осями координат. 4. Находят промежутки знакопостоянства. 5. Находят промежутки возрастания и убывания. 6. Находят точки экстремума и значение функции в этих точках. 7. Исследуют поведение функции в окрестностях особых точек и при больших по модулю х. На основании этого исследования строится график. Первые 6 пунктов плана не вызывают у учащихся затруднений. Много ошибок допускают учащиеся, когда строят график по уже проведенному исследованию (при построении графика в экстремальных точках и точках близь лежащих к ним). Исследуйте функцию и постойте ее график . Ошибки учащихся: график рисуют прямыми, а не плавными линиями (А график построен так, что в точках к кривой нельзя провести касательных, в то время как производная в этих точках существует, значит, проведение касательных возможно), не правильно выпуклости рисуют в точках экстремума. При построении учащиеся берут во внимание лишь характер монотонности функции, и то какой экстремум имеет функция в той или иной экстремумной точке. Забывают, существует ли производная функции в этих точках, если да, то, каково значение. Большое значение для изучения данной темы имеет вопрос о нахождении наибольшего и наименьшего значения функции.

Среди всего материала касающегося применения производной вызывают текстовые задачи на экстремумы. Подчеркнуть, что способ решения задач с помощью применения производной есть универсальный способ, т.к. он применяется для решения любого вида задач независимо от содержания. Значительное место должно быть уделено текстовым задачам физического и геометрического содержания. Целесообразно составить вместе с учащимися план решения текстовых задач на экстремумы. Он может быть такого вида: 1. Выделить, какие величины в данной задаче постоянны, какие переменные, какая величина исследуется. 2. Из всех переменных выбрать одну неизвестную переменную и установить область ее значений. 3. Исследуемую величину в данной задаче выразить через выбранную неизвестную переменную. 4. Найти критические точки полученной функции из области значения переменной. 5. Вычислить значение функции в найденных критических точках и на концах отрезка области определения полученной функции. 6. Выбрать из полученных значений наибольшее или наименьшее значение (смотря потому что, требует задача) и ответь на поставленный вопрос. Этот план может быть оформлен в виде таблицы и записан в тетрадях учащихся (но не навязывать, т.к. некоторым он мешает). Наибольшую трудность представляет три пункта, где учащиеся аналитической формулой, выражают функциональной зависимостью исследуемой величины в данной задаче и выбранной ими независимой переменной величины к этому учащиеся можно готовить с помощью упражнений типа: выразить формулой зависимость стороны квадрата от его площади, составит формулу, выражающую зависимость площади прямоугольника вписанного в окружность радиуса R от длины прямоугольника а.