2. По стороне основания a и высоте h найдите полную поверхность правильной четырехугольной пирамиды.

S D

Дано: SABCD – правильная четырехугольная пирамида, SO – высота, AB=a, SO=h. Найти: Sполн.пов. Решение: Sполн.пов.=Sбок.пов.+SABCD. Т. к. пирамида правильная, то Sбок.пов.=pl/2, где p – периметр основания, l – апофема. Проведем высоту SE боковой грани SBC пирамиды, тогда SE – апофема. Рассмотрим ∆ OSE. Он прямоугольный, угол SOE – прямой (т. к. SO (ABCD)), OE=a/2, SO=h. По теореме Пифагора . p=4a. Sбок.пов.= = . SABCD=a2. Sполн.пов.= + a2=a( + a). Ответ: Sполн.пов.= a( + a).

3. Доказать, что если боковые ребра пирамиды равны, то основанием высоты пирамиды является центр окружности, описанной около основания пирамиды. (эту задачу можно использовать как опорную при решении соответствующих задач на вычисление)

S D

Пусть дана четырехугольная пирамида. Дано: SABCD – пирамида, SO – высота, SA=SB=SC=SD. Доказать: O – центр окружности, описанной около основания ABCD. Доказательство: Чтобы доказать, что O – центр окружности, описанной около основания ABCD, надо доказать, что AO=BO=CO=DO. SO – перпендикуляр, SA, SB, SC, SD – равные наклонные. Тогда AO=BO=CO=DO как проекции. Доказали, что O – центр окружности, описанной около основания ABCD.

Еще одна опорная задача: Если боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы, то основание высоты пирамиды является центром окружности, вписанной в основание пирамиды.

На мой взгляд, при решении стереометрических задач у учащихся могут возникнуть трудности. Как показывает опыт, многие ученики не умеют правильно построить чертеж. Например, … И вообще курс стереометрии очень объемный, ученики зачастую неважно знают теорию. Поэтому следует как можно больше решать разнообразных задач.

40. Методика изучения скалярных величин в школьном курсе математики (длина отрезка, величина угла, угловая величина дуги, площадь фигуры, объем тела).

Понятие величины – одно из основных понятий, применяемых в математике, физике, химии и др. дисциплинах. Термин величина в школьном курсе иногда используют неправильно. Считают, что величина и значение величины – одно и то же.

В школьном курсе изучение понятия величина осуществляется концентрически. 1 этап – 1-6 кл., пропедевтический. Развивается представление о величинах и их практическом измерении. 2 этап – 7 кл. Длины отрезка, величина угла. 3 этап – 9 кл. Угловая величина дуги, площадь фигуры. 4 этап - 11 кл. Объем тела. (по учебнику Погорелова)

Учащиеся пятых классов должны отчетливо иметь представление о том, что общей особенностью длин, площадей, объемов, масс, температур является то, что для каждой из этих величин существуют отношения равенства, неравенства, которые осуществляются практическим путем. Все эти величины можно измерить, причем, для каждой есть свой способ измерения, суть которого: есть некоторая единица, с ней и необходимо сравнивать. Таким образом, процесс измерения величин состоит из этапов: 1) из данного рода величин выбирается некоторая величина, которая называется единицей измерения, 2) осуществляется процесс измерения – сравнение данной величины с выбранной единицей; в результате измерения величины находят некоторое число Х, которое называется числовым значение данной величины А при единице измерения Е: А=Х·Е.

Геометрическая фигура	Величина	Значение величины
Отрезок АВ	Длина отрезка АВ	Числовое значение длины отрезка АВ
Угол АВС	Величина угла АВС	Числовое знач величины угла АВС
Дуга АВ	Угловая вел-на дуги АВ	Числ-е знач угловой вел-ны дуги АВ
Фигура F	Площадь фигуры F	Числовое значение площади фигуры F
Тело T	Объем тела T	Числовое значение объема тела T

Длина отрезка.На рисунке прямая а и три точки А, В, С на этой прямой. Точка В лежит между точками А и С, она разделяет точки А и С. Можно также сказать, что точки А и С лежат по разные стороны от точки В. Точки В и С лежат по одну сторону от точки А, они не разделяются точкой А. Точки А и В лежат по одну сторону от точки С. Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками. Эти точки называются концами отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов. На рисунке отрезок АВ. Он является частью прямой АВ. Точка Х прямой лежит между точками А и В, поэтому она принадлежит отрезку АВ. Точка У не лежит между точками А и В, поэтому она не принадлежит отрезку АВ. Основным свойством расположения точек на прямой будем называть следующее свойство: из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Для измерения отрезков применяются различные измерительные инструменты. Простейшим таким инструментом является линейка с делениеми на ней. На рисунке отрезок АВ равен 10 см, отрезок АС равен 6 см, а отрезок ВС равен 4 см. Длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и ВС. Основными свойствами измерения отрезков будем называть следующие свойства: каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля; длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой своей точкой. Это значит, что если на отрезке АВ взять любую точку С, то длина отрезка АВ равна семме длин отрезков АС и ВС. Длину отрезка АВ называют также расстоянием между точками А и В.

Величина угла. Углом называется фигура, которая состоит из точки – вершины угла – и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, - сторон угла. На рисунке угол с вершиной О и сторонами а, в. Угол обозначается либо указанием его вершины, либо указанием его сторон, либо указанием трех точек: вершины и двух точек на сторонах угла. Слово «угол» иногда заменяют знаком <. Угол на рисунке можно обозначить тремя способами: <О, <(ав), <АОВ. В третьем способе обозначения угла буква, обозначающая вершину, ставится посередине. Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развернутым. На рисунке развернутый угол с вершиной О и сторонами ОА и ОВ. Будем говорить, что луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла. На рисунке луч с проходит между сторонами угла (ав), т. к. он исходит из вершины угла (ав) и пересекает отрезок АВ с концами на его сторонах. В случае развернутого угла считаем, что любой луч, исходящий из его вершины и отличный от его сторон, проходит между сторонами угла. Углы измеряются в градусах при помощи транспортира. На рисунке угол (ав) равен 120^.0. Полупрямая с проходит между сторонами угла (ав). Угол (ас) равен 90⁰, а угол (вс) равен 30⁰. Угол (ав) равен сумме углов (ас) и (вс). Основными свойствами измерения углов будем называть следующие свойства: каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля; развернутый угол равен 180⁰; градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами. Это значит, что если луч с проходит между сторонами угла (ав), то угол (ав) равен сумме углов (ас) и (вс).

Угловая величина дуги. Угол разбивает плоскость на две части. Каждая из частей называется плоским углом. На рисунке заштрихован один из плоских углов со сторонами а и в. Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными. Если плоский угол является частью полуплоскости, то его градусной мерой называется градусная мера обычного угла с теми же сторонами. Если плоский угол содержит полуплоскость, то его градусная мера принимается равной 360⁰ – α, где α – градусная мера дополнительного плоского угла. Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

Площадь фигуры. Геометрическую фигуру будем называть простой, если ее можно разбить на конечное число плоских треугольников. Напомним, что плоским треугольником называем конечную часть плоскости, ограниченную треугольником. Для простых фигур площадь – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами: 1) Равные фигуры имеют равные площади. 2) Если фигура разбивается на части, являющимися простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей. 3) Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна 1. Если квадрат, о котором идет речь в определении, имеет сторону 1 м, то площадь будет в квадратных м. Если сторона квадрата 100 м, то площадь будет в гектарах. Если сторона квадрата 1 км, то площадь будет в квадратных км и т. п.

Площадь прямоугольника со сторонами a, b равна S=ab. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Площадь треугольника равна: 1) половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту: , 2) половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними, 3) по формуле Герона , где - длины сторон треугольника, - полупериметр. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту: . Площадь круга равна половине произведения длины ограничивающей его окружности на радиус. Площадь кругового сектора равна , где - радиус круга, - градусная мера соответствующего центрального угла. Площадь сегмента, не равного полукругу, равна , где - градусная мера центрального угла, который содержит дугу этого кругового сектора, а - площадь треугольника с вершинами в центре круга и концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор; знак «-» надо брать, когда , а знак «+» надо брать, когда .

Объем тела. Тело называется простым, если его можно разбить на конечное число треугольных пирамид. Для простых тел объем – положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами: 1) Равные тела имеют равные объемы. 2) Если тело разбито на части, являющимися простыми телами, то объем этого тела равен сумме объемов его частей. 3) Объем куба, ребро которого равно единице длины, равен 1. Если куб, о котором идет речь в определении, имеет ребро 1 см, то объем будет в кубических см, если ребро куба равно 1 м, то объем будет в кубических м, если ребро куба равно 1 км, то объем будет в кубических км и т. п.

Объем любого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту. Объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.

Далее изучают объемы и поверхности тел вращения. Если тело простое, т. е. допускает разбиение на конечное число треугольных пирамид, то его объем равен сумме объемов этих пирамид. Данное тело имеет объем V, если существуют содержащие его простые тела и содержащиеся в нем простые тела с объемами, сколь угодно мало отличающимися от V. Далее выводят формулы объема для цилиндра, конуса, усеченного конуса, шара, шарового сегмента и сектора, формулы площадей боковой поверхности для цилиндра, конуса, площади сферы.

На мой взгляд, при изучении скалярных величин у учащихся могут возникнуть некоторые трудности. При измерении величин углов выявляется неумение некоторых учащихся пользоваться транспортиром. Понятия площади фигуры и объема тела вообще сложно усваиваются учениками, многие путают формулы для вычисления площадей некоторых фигур и объемов некоторых тел. Для преодоления этих и других трудностей необходимо больше решать задач, приводить примеры из жизни.