39. Стереометрические задачи и методика их решения.
Задачи – составная часть курса стереометрии основной школы. Они играют не только вспомогательную роль закреплять знания, полученные при изучении теоретического материала, но и обучающую, т. к. в процессе решения задач вводятся отдельные теоретические положения.
Классификация задач: 1. На вычисление. Требуется выразить неизвестные величины или их отношение через известные параметры. 2. На доказательство. Необходимо установить наличие определенного соотношения между элементами рассматриваемой фигуры, равенство или неравенство отрезков, условие параллельности или перпендикулярности прямых, плоскостей и т. д. 3. На построение. Неизвестные величины выявляются в результате выполнения ряда геометрических построений.
При обучении методам решения стереометрических задач следует уделять внимание анализу условия задачи. Почти во всех случаях надо начинать с построения чертежа. Если задача на вычисление или доказательство, чертеж может быть сделан без соблюдения масштаба. Анализ должен закончиться планом решения задачи. Небольшое число задач решается векторным способом и способом геометрических преобразований.
1. Рассмотрим задачу на построение сечения многогранника: Построить сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через вершины A, C, D1.
D1 C1
A1 B1
D C
A B
|
Напомним, что сечение многогранника – многоугольник, который образуется при пересечении этого многогранника с плоскостью. Вершины этого многоугольника являются точками пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а стороны – отрезки прямых пересечения секущей плоскости с гранями многогранника. Для построения линии пересечения секущей плоскости и грани многогранника находят две точки искомой прямой и через них проводят прямую. Для построения точки пересечения прямой и плоскости находят лежащую в плоскости прямую, пересекающуюся с данной, искомая точка – точка пересечения двух прямых. Обозначим секущую плоскость α. Через вершины A, C, D1, не лежащие на одной прямой, можно повести плоскость α и притом только одну.
A C α, D1 α, C (CDD1C1), D1 (CDD1C1), проведем прямую CD1 – линию пересечения секущей плоскости α и грани многогранника (CDD1C1). D1 α, A α, D1 (ADD1A1), A (ADD1A1), проведем прямую D1A – линию пересечения секущей плоскости α и грани многогранника (ADD1A1). Таким образом, ∆ ACD1 – искомое сечение.
|
α,
C
α,
A
(ABCD),
C
(ABCD),
проведем прямую AC
– линию пересечения секущей плоскости
α и грани многогранника (ABCD).