36. Методика изучения первых разделов систематического курса стереометрии.

Цели изучения стереометрии следующие: дальнейшее формирование навыков логического мышления, развитие пространственных представлений, дальнейшее ознакомление с прикладным аппаратом и приложениями классич. совр. геом. Существует 2 основных типа простр-х представлений. По описанию представить себе, вообразить пространственную конфигурацию или по описанию построить хороший проекционный чертеж (выбрать ракурс). Не каждый уч-к имеет хорошее простр-ое представление, но его можно развить учением, рисовать чертежи, решать задачи на простр-ое построение и т. д. Систем. курс стереометрии строится по той же схеме, что и курс планиметрии: перечисляются основные понятия, которым не даются определения, формируются аксиомы в к-х выраж-ся св-ва основных понятий, с помощью основных понятий формулируются определения других геом. понятий. Нак основании опред-й и аксиом док-ся теоремы. Основным наглядным пособием служит стереометр-й ящик. Изложению стер-го материала должно предшествовать повторение схемы наглядного построения планиметрии. Обратить внимание: нельзя путать теор., акс., опред., не рекомендуется говорить: определить в смысле вычислить. Введение в стереометрию включает в себя: аксиомы, следствия из них, правила построения сечений и т. д. Цель этих вводных уроков состоит в том, чтобы познакомить учащихся с основными свойствами и способами задания плоскостей на базе групп аксиом и их следствий. В ходе решения задач по планиметрии следует добиваться проведения доказательных рассуждений со ссылками на аксиомы и следствия из них.

На первом уроке в ходе вводной беседы учащихся знакомят с примерами простейших пространственных фигур (параллелепипед, пирамида, куб, шар). Учащиеся должны уметь находить эти фигуры в окружающей обстановке, следует так же продемонстрировать им наглядные пособия (чертежи и модели). Следует так же вспомнить основные приемы изображений из курса черчения, показать учащимся как изображается в стереометрии плоскость, ввести понятия точки, прямой и плоскости как базовых.

Введение аксиом подразумевает 4 этапа: 1) иллюстрация на модели; 2) формулировка аксиомы; 3) схематический чертеж; 4) запись содержания.

При введении 1-ой аксиомы стереометрии следует опираться на аксиому планиметрии ( какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие и не принадлежащие этой прямой), лучше показать на чертеже. А уже за тем формулируется эта же аксиома, но для плоскости.

Перед введением 2-ой аксиомы можно предложить упражнение типа: на предметах окружающей обстановки, моделях, их изображениях показать общую точку нижнего основания и передней боковой грани параллелепипеда. Вопрос: могут ли 2-е плоскости иметь только одну общую точку? Затем формулируется сама аксиома: если две различные плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой.

Третью аксиому лучше продемонстрировать при помощи чертежей и моделей ( подчеркивается, что каждую плоскость определяет любая пара пересекающихся прямых). Далее записывается формулировка: если две прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и при том только одну.

Затем предполагается ряд практических заданий: 1) как при помощи 2-х нитей столяр может проверить, лежат ли концы 4-х ножек стола в одной плоскости (ответ объяснить)? 2) из некоторой точки пространства проведены 3 луча; сколько плоскостей можно провести через эти лучи (решается задача на модели и затем на чертеже)?

В данной теме предполагается так же начать решение задач на построение сечений. Пример: построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: А, С, В1.

В планиметрии мы имели одну пл-ть, на которой располагались все рассматриваемые нами фигуры. В стереометрии много, даже бесконечно много, пл-тей. В связи с этим формулировки некоторых аксиом планиметрии, как аксиом стереометрии, требуют уточнения. Это относится к аксиомам 4, 7, 8, 9.

1. Какова бы не бала пл-ть, сущ-ют точки прин-ие этой пл-ти, и точки, не принадлежащие ей.

2. Если две различные пл-ти имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести пл-ть, и притом только одну.

4. Прямая, принадлежащая пл-ти, разбивает эту пл-ть на две полупл-ти.

5. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180. Градусная мера равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

6. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

7. От полупрямой на содержащей ее пл-ти в заданную полупл-ть можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180, и только один.

8. каков бы ни был треуг-к, существует равный ему тр-ик в данной пл-ти в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой пл-ти.

9. На пл-ти через данную точку, не лежащую не данной прямой можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Сущ -ние пл-ти, проходящей через данную прямую и данную точку. Теорема: Через пр-ую и не лежащую на ней точку можно провести пол-ть, и при том только одну.

Пересечение пр-ой с пл-тью. Теорема: Если 2 точки прямой принадлежат пл-ти, то вся пр-ая принадлежит этой пл-ти. Следствие: пл-ть и не лежащая на ней пр-ая либо не пересекается, либо пересекается в одной точке.

Сущ-ие пл-ти, проходящей через три данные точки. Теорема: Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести пл-ть, и притом только одну.

Разбиение прос-ва пл-тью на два полупространства. Теорема: Пл-ть разбивает про-во на два полупр-ва. Если точки X и Y принадлежат одному полупр-ву, то отрезок XY не пересекает пл-ть. Если же точки X и Y принадлежит разным полупространствам, то отрезок XY пересекает пл-ть.