34. Методика изучения темы «Преобразование фигур» (движение, подобие и его свойства).

Изучение данной темы осуществляется по следующему плану: 1) Место и значение темы. Понятие «движения» и его свойства. 2) Приемы преобразования фигур (симметрия относительно прямой, точки, поворот). 3) Параллельный перенос и его свойства. 4) Равенство фигур.

Цель – ознакомить уч-ся с примерами геом-х преобразований. Прогр-ка стр. 60.

Изучению этой темы уделяется внимание в 7-9-ом классах. В школьной практике возможны два подхода к изучению темы: 1) геометрические преобразования положены в основу построения курса (являться основным аппаратом в решении задач и док-ве теорем); 2) преобразование фигур является объектом изучения. Первый подход превалирует в учебнике Чолмогорова, второй – Погорелова.

Материал по теме геом-кие преобр-ия включен в ознакомительном плане. Геом-кие преобразования не аппарат положенный в основу изучения всего курса. Тема наз. преобразование фигур, т. е. конкретных фигур, а не геом-кие преобр-ия. При изучении данной темы широко используется координатный метод (удобным способом вводится система координат и формула расстояния). Изучаются следующие темы: преобразование симметрии относительно точки, прямой, гомотетия относительно центра, поворот, преобразование подобия.

Преобразование фигур. (Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной)

Понятие «движения» (Преобразование одной фигуры в другую наз. движением, если оно сохраняет расстояние между точками. Два движения, выполненные последовательно, дают снова движение. Преоб-ие, обратное движению, также явл-ся движением.) является фундаментальным в курсе геометрии (из него выводится понятие равенства фигур). Детям уже известны три вида равенства фигур: отрезков, углов, треугольников (равенство линейных размеров и градусных мер). В данной теме док-ся, что общее понятие равенства фигур (отрезков, углов, треугольников) равносильно первоначальному определению равенства. Задач на общие свойства преобразований очень мало (особенно на доказательство и построение). Большинство же задач направлено на решение через равенство треугольников и их подобие. Особое внимание в данной теме уделяется доказательству теорем. Примером может служить следующая теорема: точки лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.

Дано: А, В, С лежат на прямой р. При движении р переходит в р1.

Доказать: А1, В1, С1 лежат на прямой р1 и сохраняется простое отношение трех точек.

Доказательство: Пусть точка В прямой АС лежит между точками А и С. Докажем, что точки А1, В1, С1 лежат на одной прямой. Если точки А1, В1, С1 не лежат на одной прямой, то они явл-ся вершинами треугольника. Поэтому A1C1<A1B1+B1C1. По определению движения следует, что АС<AB+BC. Однако по св-ву измерения отрезков АС=АВ+ВС. Мы пришли к противоречию. Значит, точка В1 лежит на прямой А1С1. 1-ое утверждение теоремы д-но.

Покажем теперь, что точка В1 лежит между А1 и С1. Пусть А1 лежит между В1 и С1. Тогда

А1В1+А1С1=В1С1; и следовательно АВ+АС=ВС. Но это противоречит равенству АВ+ВС=АС. Т. о. А1 не может лежать между В1 и С1. Аналогично д-ся, что С1 не может лежать между точками А1 и В1. Так как из 3-х точек А1, В1, С1 одна лежит между двумя другими, то этой точкой может быть только В1. Чтд.

При движении прямые переходят в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки. При движении сохраняются углы между полупрямыми. д-во: Пусть АВ и АС – две полупрямые, исходящие из точки А, не лежащие на одной прямой. При движении эти полупрямые переходят в некоторые полупрямые А1В1 и А1С1. Т. к. движение сохраняет расстояния, то треугольники АВС и А1В1С1 равны по третьему признаку равенства треуг-ков. Из равенства треуг-ов следует равенство углов ВАС и В1А1С1, чтд.

Преобразование фигуры Ф в фигуру Ф1, при котором каждая ее точка Х переходит в точку Х1, симметричную относительно данной точки О, наз преобразованием симметрии относительно точки О. Если преоб-ие симметрии относительно точки О переводит фигуру Ф в себя, то она наз-ся центрально-симметричной, а точка О – центр симметрии. Теорема: Преобразование симметрии относительно точки явл-ся движением.

Преобразование фигуры Ф в фигуру Ф1, при котором каждая ее точка Х переходит в точку Х1, симметричную относительно данной прямой а, наз преобразованием симметрии относительно прямой а. Теорема: преобразование симметрии относительно прямой явл-ся движением.

Поворотом пл-ти около данной точки наз такое движение, при котором каждый луч, исходящий из этой точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении. Преобразование фигур при повороте пл-ти также наз поворотом.

Введем на пл-ти декартовы координаты х, y. Преоб-ие фигуры Ф, при котором произвольная ее точка (x;y) переходит в точку (x+a;y+b), где а и b одни и те же для всех точек (x;y), наз параллельным переносом. Параллельный перенос задается формулами x1=x+a, y1=y+b. Эти ф-лы выражают координаты x1, y1 точки, в которую переходит точка (x;y) при параллельном переносе. Параллельный перенос есть движение. При парал-ном переносе точки смещаются по параллельным прямым на одно и то же расстояние. При парал-ном переносе прямая переходит в параллельную прямую (или в себя).

Сущ-ние и единственность парал-го переноса. Теорема: Каковы бы ни были две точки A и А1, сущ-ет один и только один парал-ный перенос, при котором точка А переходит в точку А1.

Две полупрямые наз одинаклово направленными или сонаправленными, если они совмещаются парал-ным переносом. Если полупрямые а и b одинаково направлены и полупрямые b и с одинаково направлены, то полупрямые а ис тоже одинаково направлены.

Две фигуры наз равными, если они движением переводятся одна в другую. Равенство треуг-ов, определяемое через их совмещение движением, и равенство, как мы его понимали до сих пор, выражают одно и то же.

Подобие.

Преобразование фигуры Ф в фигуру Ф1 наз преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и тоже число раз, т. е. если произвольные точки Х, У фигуры Ф при преобразовании подобия переходят в точки Х1, У1 фигуры Ф1, то Х1У1 = к ХУ. Где к – одно и тоже для всех Х, У (наз коэф-т подобия), если к=1, то движение.

Пусть Ф данная фигура и О – фиксированная точка, проведем через произвольную точку Х фигуры Ф луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ1=к ОХ, к>0. Преоб-ие фигуры Ф при котором ее каждая точка Х переходит в точку Х1, построенную указанным способом наз гомотетией относительно центра О. Число к наз коэффициентом гомотетии. Фигуры Ф и Ф1 наз гомотетичными.

Теорема: гомотетия есть преобразование подобия.

Св-ва преобр-ия подобия: Пребр-ие подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки. Сохраняет углы между полупрямыми.

Подобие фигур. Две фигуры наз подобными если они переводятся друг в друга преобразованием подобия. Если фигура Ф1 подобна Ф2, а фигура Ф2 подобна Ф3, то Ф1 подобна Ф3. У подобных фигур соответсвующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. Так если АВС подобен А1В1С1, то угол А= углу А1. <B=<B1, <C=<C1. АВ:А1В1=ВС:В1С1=АС=А1С1.

Признаки подобия:

1. Если два угла и угол одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие тр-ки подобны.

2. Если две стороны одного тр-ка пропорциональны двум сторонам другого тр-ка и углы, образованные этими сторонами равны, то тр-ки подобны.

3. Если стороны одного тр-ка пропорциональны сторонам другого тр-ка, то такие тр-ки подобны.

Для подобия двух прям-ых тр-ков достаточно, чтобы у них было по равному острому углу.

Тема преобразования фигур имеет и огромное практическое применение: это и выработка навыков составления планов и карт, проведения измерительных работ на местности, возможность решения огромного количества задач практического характера. Но до сих пор проблемным оставался вопрос строгого определения равенства фигур, которое невозможно ввести для любых фигур, минуя изучение данной темы.

35. Методика изучения векторов в школе.

Идея вектора одна из фундаментальных в соврем-й мат-ке. Абстрактное мат понятие вект-го пр-ва и в-ра слишком сложно для усвоения всеми уч-ся. В курсах м-ки и физики уч-ся знакомятся лишь с некоторыми интерпретациями 2-х мерного вект-го пр-ва. Существуют различные подходы к введению этого понятия. В физике при помощи вектора изображ-ся различные направления величины: сила, скорость, ускорение и т. д. В силу чего вектор определяется как направленный отрезок. При том часто такая направленная величина оказывается существенно связанной с определенной точкой (точкой ее приложения) или прямой. В м-ке обычно имеют дело с так называемым свободным вектором (вектором не связанном ни с какой пр-й ни с какой фиксированной точкой). В учебных пособиях по геом-рии встречаются различные определения в-ра. В Геом. Колмагорова параллельные переносы имеют и другое название, их называют векторами. В уч-х Погор., Атан. Направленный отрезок наз. вектором.

Понятие в-ра вводится на основе естественного и наглядного представления о направленном отрезке. Операции над в-ми опред-ся координатным способом. При этом св-ва операции (ком-ть, ас-ть, дистр-ть) достаточно очевидны и проверяются простыми вычислениями. Геом-й смысл действия над в-ми выясняется соответствующими теоремами. Следует обратить внимание и на геом-ую илл-ю операц. над в-ми и решению задач (они решают их только в корд-й форме).

Векторы АВ и СД наз одинаково (противоположно) направленными, если полу-прямые Ав и СД одинаково (противоположно) направлены. Абсолютной величиной в-ра наз. длина отрезка, изображающего вектор. Начала в-ра может совпадать с его кронцом – нулевой в-р. Два в-ра наз равными, если они совмещаются параллельным переносом. Равные в-ры одинаково направлены и равны по абсолютной величине.

Обратно: если в-ры одинаково напр-ны и равны по абсол-й величине, то они равны.

Пусть в-ра АВ и СД - одинаково напр-ные, равные по абсолютной величине. Параллельный перенос, переводящий точку С в точку А, совмещает полупрямую СД с полупрямой АВ, т. к. они одинаково направлены. А т. к. отрезки АВ и СД равны, то при этом точка Д совмещается с точкой В, т. е. параллельный перенос переводит в-р СД в в-р АВ. Значит в-ры АВ и СД равны, Чтд.

Равные в-ры имеют равные соотв-щие координаты (обратно). Пусть А1(х1;у1) и А2(х2;у2) – начало и конец в-ра а. Т. к. равный ему в-р а^’ получается из в-ра а параллельным переносом, то его началом и концом будут А1^’ (x1+c;у1+d), А2^’ (x2+c;у2+d). Отсюда видно, что оба в-ра а и а^’ имеют одни и те же коор-ты: х2-х1, у2-у1.

Каковы бы ни были точки А, В, С, имеет место вект-е рав-во АВ+ВС=АС(это в-ра).

Два не нулевых в-ра наз. коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на парал-х прямых.

Если а и b – отличные от нуля коллинеарные в-ры, то сущ-ет число L такое, что b=La. Любой в-р с можно представить в виде с=La+Mb.

Пусть А и В – начало и конец в-ра с. проведем через точки А и В прямые, парал-ые вект-рам а и b. Они пересекутся в некоторой точке С. Имеем: АВ=АС+СВ. Т. к. в-ры а и АС коллинеарны, то АС=La. Т. к. в-ры СB и и коллинеарны, то CB=Mb. Т. о. с=La+Mb. Чтд.

Скалярным произведением векторов а(а1;а2) и b(b1;b2) наз-ся число a1b1+a2b2. Для любых в-ров (а+b)c=ac+bc. Скалярное произведение в-ров равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними. Если в-ры перпенгд-ны, то ихскал-ое произведение =0 (обратно).