37. Методика изучения параллельности прямых и плоскостей в пространстве.

Основная цель – дать учащимся систематические знания о параллельности прямых и плоскостей в пространстве. В теме обобщаются уже известные из планиметрия знания о параллельности прямых.

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.

Теорема. Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну.

Признак параллельности прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются. Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Д ве плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Доказательство. Пусть  и  - данные плоскости, а1 и а2 – прямые в плоскости , пересекающиеся в точке А, b1 и b2 – соответственно параллельные им прямые в плоскости . Допустим, что плоскости  и  не параллельны, т.е. пересекаются по некоторой прямой с. По теореме (признак параллельности прямой и плоскости) прямые а1 и а2, как параллельные прямым b1 и b2, параллельны плоскости , и поэтому они не пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости  через точку А проходят две прямые (а1 и а2), параллельные прямой с. Но это невозможно по аксиоме параллельных. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Существование плоскости, параллельной данной. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Свойства параллельных плоскостей. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны. Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны.

П ример задачи: Точка В не лежит в плоскости треугольника ACD. Точки M,N,P – середины отрезков BA, BC, BD. Найти площадь треугольника MNP, если площадь тр-ка ACD =48 см². Дано:….. Решение:

S _трACD 2 ²

S _трMNP 1 4

S _трMNP= S _трACD/4

S _трMNP=48/4=12(см²)

38. Методика изучения перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве.

Понятия: перпендикулярность прямых, пер-ть пр-й и пл-ти, признак перп-ти пр-й и пл-ти, расстояние от точки до пл-ти. Теоремы о зависимости пл-тей, расстояние от пр-й до параллельной ей пл-ти, расстояние между парал-ми пл-ми, теорема о трех перпендикулярах, перпен-ть пл-тей.

Осн-я цель: Дать уч-ся систематические сведения о перпенд-ти пр-х и пл-тей в пространстве.

Здесь продолжается изучение взаимного расположения пр-х и пл-й в пространстве: рассматривается перпенд-ть пр-х, пр-й и пл-ти, двух пл-й. Материал темы обобщает и систематизирует известные уч-ся из планиметрии сведения о перпенд-ти пр-х. Изучение данного материала целесообразно сочетать с систематическим повторением соответствующего материала из планиметрии, что будет способствовать более глубокому усвоению нового материала, позволит ознакомить уч-ся с использованием аналогии в мат-ке.

Опр. Две пр-е наз-ся перп-ми, если они перес-ся под прямым углом.

Теор. Если две пересекающиеся пр-е парал-ны соответственно двум перпенд-м прямым, то они тоже перпенд-ны.

Опр. Прямая, пересекающая пл-ть, наз-ся перпенд-й этой пл-ти, если она перпенд-на любой пр-й, которая лежит в данной пл-ти и проходит через точку пересечения.

При введении определения перпендикулярных прямой и плоскости, важную роль играет применение моделей. Формулируя определение необходимо четко провести различие между смыслом слов: любой прямой плоскости» и «какой-либо прямой плоскости». Наиболее содержательной темой рассмотренного отдела является признак перпендикулярности прямой и плоскости. Подход к введению формулировки признака может быть выполнен в проблемном плане. Учащиеся легко осознают, что непосредственное применение определения мало пригодно для обоснования перпендикулярности прямой и плоскости.

Необходим признак, позволяющий свести решение этого вопроса к выполнению конечного числа проверок. Начинаем с более простого случая: известно, что данная прямая А перпендикулярна одной прямой В, лежащей в плоскости . Рассматривая модель, учащиеся замечают, что в общем случае утверждение А перпендикулярно  – не верно.

Наглядно ясна также ложность утверждения, что из перпендикулярности прямой А к двум параллельным прямым В и С, лежащим в , следует перпендикулярность А и .

Наконец, демонстрируется случай, когда А перпендикулярна двум пересекающимся прямым В и С. Этот случай приводит учащихся к нужной гипотезе.

Теор. (признак перп-ти пр-й и пл-ти) Если пр-я перп-на двум пересекающимся пр-м, лежащим в пл-ти, то она перп-на данной пл-ти.

Док-во. Пусть , , , тогда , . Проведем пр-ю х: , . Покажем: . Проведем пр-ю, к-я пересекает b, x, с в точках B, X, C и не проход. через т. А. Отложим на пр-й а отрезки в разные стороны .

CA – медиана, , (по усл.), - равнобедренный. Аналогично - равноб.

= (по 3-м сторонам) = , = (по 2-м сторонам и углу между ними) - равноб.

(по построению), XA -медиана высота. (по опред.) Ч.т.д.

Следующим важным объектом изучения являются свойства перпендикулярных прямой и плоскости. Это теоремы, выражающие зависимости между параллельностью и перпендикулярностью. Необходимо рассмотреть 4 свойства, 2 из них рассматривают как теоремы и 2 других решают как задачи. 1 свойство: Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. 2 свойство: Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны. 3 свойство: Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой. 4 свойство: Если две плоскости перпендикулярны одной прямой, то они параллельны.

К восприятию этих свойств учащиеся приходят легко, так как эти факты им известны из окружающей обстановки. Однако, при формулировании этих свойств у учащихся возникает путаница, так как одна формулировка похожа на другую. Поэтому в более подготовленных классах можно объединить эти свойства в два с помощью слов «тогда и только тогда» или «необходимо и достаточно».

Св-ва перпенд-ти пр-й и пл-ти.

Теор. Если пл-ть перпен-на одной из двух парал-ых пр-х, то она перпенд-на и другой.

Тоер. Две пр-е, перпенд-е одной и той же пл-ти, парал-ны.

Опр. Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную пл-ть, наз-ся отрезок, соединяющий данную точку с точкой пл-ти и лежащий на прямой, перпенд-й пл-ти. Конец этого отрезка наз-ся основанием перпенд-на.

Опр. Расстоянием от точки до пл-ти наз-ся длина перпенд-ра, опущенного из этой точки на пл-ть.

О пр. Наклонной, проведенной из данной точки, к данной пл-ти, наз-ся любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой пл-ти, не являющейся перпенд-ром к пл-ти. Конец отрезка, лежащий в пл-ти, наз-ся основанием наклонной.

Опр. Расстоянием от прямой до параллельной ей пл-ти наз-ся расстояние от любой точки этой пр-й до пл-ти.

Опр. Расстоянием между парал-ми пл-ми наз-ся расстояние от любой точки одной пл-ти до другой пл-ти.

Теор. (О 3-х перпенд-х) Если пр-я, проведенная на пл-ти через основание наклонной, перпенд-на ее проекции, то она перпенд-на и проекции наклонной.

Следующим этапом является изучение перпендикулярности плоскостей. Наиболее трудным является понимание формулировки определения перпендикулярных плоскостей: « Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым».

Учащиеся должны понимать, что плоскостей перпендикулярных линий пересечения двух плоскостей можно провести сколько угодно, но не всегда линии пересечения двух данных плоскостей с третьей, перпендикулярны между собой. Прямая перпендикулярности плоскостей не вызывает затруднения ни в формулировке, ни в доказательстве. Теорема о существовании плоскости перпендикулярной данной также рассматривается в виде задачи на воображаемое построение

Признак перпенд-ти пл-тей.

Т еор. Если пл-ть проходит через пр-ю, препенд-ю другой пл-ти, то эти пл-ти перпенд-ны.

Дано: - пл-ть, , - пл-ть, , . Д-ть: . Д-во: , проведем пр-ю а: , , . Проведем через a, b пл-ть , , , т. к. . Ч. т. д.