2.6 Структурні формули кінематичних ланцюгів

Основи теорії структури кінематичних ланцюгів закладені у пра­ці видатного російського вченого професора П. І. Сомова, опуб­лікованій у 1887 р., і розвинуті радянськими вченими.

Раніше було встановлено, що коли на рух ланки у просторі не накладено ніяких умов зв'язку, то вона має шість ступенів вільності. Тоді, якщо число ланок кінематичного ланцюга дорів­нює k, то загальне число ступенів вільності, які мали k ланок до їхнього з'єднання у кінематичні пари, дорівнюватиме 6k. Кожна кінематична пара накладає різне число зв'язків на відносний рух ланок, що залежить від класу пари (див. підрозділ 2.3). По­значимо число пар І класу, що входять до складу ланцюга, через р₁, II  р₂, III  р₃, IV  р₄, V  р₅. Клас кінематичної пари ви­значається числом умов зв'язку, які накладає кожна кінема­тична пара на відносний рух ланок. Для визна­чення загального числа ступенів вільності ланок кінематичного ланцюга треба з 6k ступенів вільності, що їх ланки мали до того, як увійшли до кінематичної пари, вилучити ті ступені вільності, які віднімають кінематичні пари. Одна па­ра І класу накладає на відносний рух ланок одну умову зв'язку (S = 1), II класу  дві (S = 2) і т. д. Тоді число ступенів вільності H, що їх має кінематичний ланцюг, становить

Н = 6k  5р₅  4р₄  3p₃  2р₂  р₁. (2.4)

Оскільки в механізмах одна ланка нерухома, то при вив­ченні руху всіх ланок механізму їхні абсолютні переміщення розглядаємо як такі, що відбуваються відносно однієї з ланок, прийнятої за нерухому. Якщо одна з ланок кінематичного лан­цюга буде нерухомою, то загальне число ступенів вільності ла­нок ланцюга зменшиться на шість, тобто число ступенів вільності (рухомості) відносно нерухомої ланки

W = Н  6. (2.5)

Підставляючи у (2.5) замість Н його вираз з (2.4), одержуємо

W = 6(k 1)  5p₅  4р₄  Зp₃  2р₂  р₁. (2.6)

Якщо в (2.6) величину k -1 позначити через n, то

W = 6n  5р₅  4р₄  3p₃  2р₂  р₁, (2.7)

де n  число рухомих ланок кінематичного ланцюга.

Формула (2.6) має назву формули рухомості або структурної формули кінематичного ланцюга загального вигляду.

Формула (2.7) вперше, у дещо іншому вигляді, була одержа­на професором П.І.Сомовим і розвинута професором А.П.Малишевим, і тому носить назву формули СомоваМалишева.

Застосування цієї формули можливе тільки у тому випадку, коли на рухи ланок, які входять до складу механізму, не накла­дено будь-яких загальних додаткових умов. Ці умови, загальні для всього механізму в цілому, можуть бути дуже різноманіт­ними. Так, можна поставити вимогу, щоб у механізмі, який складається з самих обертових пар V класу, осі всіх цих пар бу­ли паралельні, перетиналися в одній точці або перетиналися у двох точках і т. п. Виявляється, що такі додаткові вимоги істот­но змінюють характер руху механізму і змінюють відповідно вигляд структурної формули механізму.

Нехай, наприклад, у механізмі, який складається з оберто­вих пар V класу, осі всіх пар паралельні (рисунок 2.24).

Рисунок 2.24 – Осі всіх обертових пар механізму паралельні

Виберемо систему координат хуz так, щоб напрямок осі х збігався з напрямком осей пар, а осі у і z лежали у площині, перпендикулярній до осей пар. Тоді неважко переконатися, що в цьому випадку ланки механізму ОАВС рухатимуться паралель­но загальній площині, яка містить осі у і z, тобто маємо так зва­ний плоский механізм.

Які загальні обмеження накладено на рухи всіх ланок ме­ханізму умовою паралельності осей усіх кінематичних пар? Ці обмеження будуть такими. Ланки механізму не можуть мати обертового руху навколо осей у і z і поступального руху вздовж осі х, тобто з шести можливих рухів три не можуть бути здійсненими.

Якщо на рух усіх ланок механізму в цілому накладено три загальні обмеження, то, очевидно, цю обставину треба взяти до уваги, підраховуючи ступені вільності окремих ланок і рухомості механізму в цілому. Справді, якщо в загальному випадку число ступенів вільності рухомих ланок механізму дорівнює 6n, то для плоского механізму: (6  3)n = 3n, тобто тіло в плоскому русі має три ступеня вільності (два поступальні вздовж осей у і z, один обертовий навколо осі х). Відповідно з п'яти зв'язків, які накла­дає пара V класу, у цьому механізмі вона накладати­ме тільки 5  3 = 2, оскіль­ки три зв'язки вже накладено умовою паралельності осей пар і т. п. Тоді структурна форму­ла механізму (2.7) перепишеться так:

W = (6 – 3)n – (5 – 3)p₅ – (4 – 3)p₄ – (3 – 3)p₃ ,

тобто ступені вільності (рухомості) плоского механізму

W = 3n – 2p₅ – p₄ . (2.8)

Це є структурна формула для плоских механізмів загального вигляду, або формула Чебишова.

До складу плоских механізмів можуть входити тільки пари IV і V класів, причому пари IV класу  вищі, V  нижчі.

З наведеного прикладу видно, що коли на рух усіх ланок механізму в цілому накладено якесь загальне для всього ме­ханізму число зв'язків, то число цих загальних зв'язків із струк­турної формули механізму (2.7) треба вилучити, віднявши число цих зв'язків із числа ступенів вільності всіх рухомих ланок ме­ханізму і з числа умов зв'язку всіх кінематичних пар, що вхо­дять до складу механізму.

Залежно від числа вказаних загальних зв'язків, накладених на рух усіх ланок механізму, всі механізми ділять на п'ять сімей. Номер сім'ї визначається числом цих загальних зв'язків.

Член-кореспондент АН СРСР В.В.Добровольський у 1943 р. вивів загальну структурну формулу механізмів

(2.9)

де т  кількість загальних зв'язків, накладених на рух ланок механізму (т= 0...4);

k  клас кінематичної пари (k = 1...5).

Тепер з'ясуємо, який зв'язок існує між ступенями вільності W і визначеністю руху ланок механізму. Для цього розглянемо два приклади. На рисyнку 2.25 зображено схему чотириланкового кінематичного ланцюга, до складу якого входять три рухомі ланки (n = 3), чотири обертові кінематичні пари V класу (р₅ = 4). Тоді ступені вільності такого кінематичного ланцюга можна визначити за формулою Чебишова (р₄ = 0):

W = 3n – 2p₅ – p₄ = 3 3 – 2 4 – 0 = 1.

Якщо будь-якій ланці, наприклад АВ, надати закон руху, у даному випадку обертового, то всі інші ланки ВС і СD будуть мати також цілком визначений рух.

Як відомо, положення твердого тіла, яке вільно рухається у просторі, визначається шістьома незалежними координатами. їх прийнято називати узагальненими, оскільки вони визначають положення всього твердого тіла. Аналогічно узагальненими коор­динатами механізму називають незалежні між собою лінійні або кутові координати, які визначають положення всіх ланок ме­ханізму відносно стояка. У даному випадку (рисунок 2.25) за уза­гальнену координату можна прийняти кут повороту кривошипа ₁, оскільки положення ланки 1 визначає положення всіх інших рухомих ланок шарнірного чотириланкового механізму.

Рисунок 2.25

Ланка, якій приписують одну або кілька узагальнених коор­динат, називається початковою. Цей термін пов'язаний з тим, що знаходження положень усіх ланок механізму починають із знаходження положень початкових ланок.

Рисунок 2.26

Для кінематичного ланцюга, схему якого наведено на рисунку 2.26, ступінь вільності (n = 4, р₅ = 5, р₄ = 0):

W = 3  4 – 2  5 – 0 = 2 .

Якщо у цьому ланцюзі задано лише положення ланки АВ, то очевидно, що положення решти рухомих ланок буде невизначеним. Коли ж задати ще положення іншої ланки, наприклад ланки 4, кутом ₄, то всі ланки механізму будуть мати цілком визначений рух. Отже, у механізмі, що наведений на рисунку 2.26, повинно бути дві початкові ланки.

Таким чином, ступені вільності кінематичного ланцюга відносно стояка визначають кількість початкових ланок механізму. Останні можуть збігатися із вхідними ланками механізму, а можуть і не збігатися. Добір початкової ланки визначається зручністю визна­чення положень ланок механізму і зручністю його аналізу.

На основі наведеного можна показати, як із кінематичного ланцюга одержати механізм. Для цього необхідно одну з ланок ланцюга зробити нерухомою (стояком), підрахувати ступені вільності і залежно від їхньої кількості одній або кільком ланкам задати закон руху (див. рисунки 2.25, 2.26).

Початкові ланки надалі будемо показувати круговими (або прямими) стрілками.