Метод Гаусса

В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в том, что систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с треугольной матрицей (системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают). Эти действия называются прямым ходом. Затем из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Составим расширенную матрицу системы.

А* =

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: x₃ = 2; x₂ = 5; x₁ = 1.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Составим расширенную матрицу системы.

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.

Для самостоятельного решения:

1)

2)

Раздел 3. Комплексные числа

Тема 3.1. Алгебраическая и геометрическая формы комплексного числа

Комплексным числом z называется выражение вида , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).

Такая форма записи называется алгебраической формой комплексного числа.

Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.

Число называется сопряженным числу

Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части, т.е.

Действия с комплексными числами в алгебраической форме

Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.

1) Сложение и вычитание:

2) Умножение:

=

3) Деление:

=

Пример. Даны два комплексных числа . Найти значение выражения в алгебраической форме.

Произведем деление двух комплексных чисел:

Получаем значение заданного выражения: 16(-i)⁴ = 16i⁴ =16.

Геометрическая форма комплексного числа

Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.

Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом ось ОХ будет являться действительной числовой осью, а ОУ - мнимой осью.

С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.