Вычисление ранга матрицы

а) Метод окаймляющих миноров.

.

Пусть в матрице найден минор -го порядка, отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры -го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор : если все они равны нулю, то ранг матрицы равен . В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор -го порядка, и вся процедура повторяется.

Применяя описанный метод к матрице , найдем .

Ясно, что перебирать таким способом миноры в поисках базисного – задача, связанная с большими вычислениями, если размеры матрицы не очень малы. Существует, однако, более простой способ нахождения ранга матрицы – при помощи элементарных преобразований.

б) Метод элементарных преобразований

Элементарными преобразованиями называют следующие преобразования матриц:

1. Умножение или деление строки на число, отличное от нуля;

2. Сложение и вычитание строк;

3. Перестановку строк;

4. Вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

5. Транспонирование

Те же операции, применяемые для столбцов, также являются элементарными преобразованиями.

Теорема. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Идея практического метода вычисления ранга матрицы

заключается в том, что с помощью элементарных преобразований данную матрицу приводят к виду

,

в котором «диагональные» элементы отличны от нуля, а элементы, расположенные ниже «диагональных», равны нулю. Матрица такого вида называется треугольной (или трапециевидной). После приведения матрицы к треугольному виду можно сразу записать, что .

В самом деле, (т.к. элементарные преобразования не меняют ранга). Но у матрицы существует отличный от нуля минор порядка :

,

а любой минор порядка содержит нулевую строку и поэтому равен нулю.

Сформулируем теперь практическое правило вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований: для нахождения ранга матрицы следует с помощью элементарных преобразований привести ее к треугольному виду . Тогда ранг матрицы будет равен числу ненулевых строк в полученной матрице .

Пример. Определить ранг матрицы.

  , RgA = 2.

Пример: Определить ранг матрицы.

   , Rg = 2.

Пример. Определить ранг матрицы.

 ,  Rg = 2.

Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере – это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора.

Упражнение. Найти методом элементарных преобразований ранг матрицы

.

Тема 2.2. Системы линейных уравнений

В общем виде систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными можно записать:

Числа называются коэффициентами системы – свободными членами; – неизвестными.

Если , то система называется однородной, в противном случае она называется неоднородной.

Решением системы линейных уравнений называется любая совокупность чисел с_1, с₂, …, с_n, которая будучи подставлена в систему вместо неизвестных x₁, x₂, … , x_n обращает все уравнения в верные тождества.

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если решений нет.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Система уравнений называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. Невырожденная система имеет единственное решение.