Тема 4.7. Теория рядов Понятие числового ряда

Числовым рядом называется выражение вида:

(1)

При этом числа называются членами ряда (1), а_n – общим членом ряда.

Примеры рядов

Из членов бесконечной геометрической прогрессии можно составить ряд:

- ряд геометрической прогрессии

Если, например, взять a = 1, q = , то получим ряд:

Ряд называется гармоническим рядом.

Сумма первых п членов ряда называется частичной суммой ряда.

Таким образом, с рядом (1) связывается последовательность его частичных сумм

S₁, S₂, …,S_n, …, где S₁ = а₁, S₂ = а₁ + а₂, … S_n = а₁ + а₂ + … + а_п, …

Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм, т.е. если существует предел

Число S называется суммой ряда.

Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся.

Например, ряд геометрической прогрессии сходится, если . Если , то этот ряд сходится только при а = 0, а в остальных случаях расходится.

Гармонический ряд расходится.

Свойства рядов

Теорема 1. Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, то для произвольного числа с ряд (2) тоже сходится, и его сумма равна сS. Если же ряд (1) расходится и с ≠ 0, то и ряд (2) расходится.

Другими словами: сходимость (расходимость) ряда не нарушится, если все его члены умножить на одно и то же отличное от нуля число.

Теорема 2. Если ряды (1) и (3) сходятся и их суммы равны соответственно S₁ и S₃, то и каждый из двух рядов сходится и его сумма равна соответственно S₁ ± S₃.

Другими словами: сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать.

Следствие: Сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.

Теорема 3. Если в ряде (1) добавить или отбросить конечное число членов, то полученный ряд сходится или расходится одновременно с данным. В случае сходимости рассматриваемых рядов их суммы отличаются на сумму отброшенных членов.

Необходимые условия сходимости ряда

1) Если ряд сходится, то общий член ряда а_n стремится к нулю (т.е. ). Однако, это условие не является достаточным. Например, гармонический ряд является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.

Если , то ряд расходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Найдем - необходимый признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится.

2) Если ряд (1) сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.

Однако этот признак также не является достаточным.

Например, ряд 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … + (-1)ⁿ⁺¹ +… расходится, т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что

При этом последовательность частных сумм ограничена, т.к. при любом n.

Ряды с неотрицательными членами

При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами.

Теорема. Для сходимости ряда с неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены.