Метод Лагранжа
Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений еще называют методом вариации произвольной постоянной.
Вернемся к поставленной задаче:
Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и замене ее нулем.
Далее находится решение получившегося однородного дифференциального уравнения:
.
Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную С1 некоторой функцией от х.
Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем:
Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение
Из этого уравнения определим переменную функцию С1(х):
Интегрируя, получаем:
Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем:
.
Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий с результатом расчета по методу Бернулли.
При выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений следует руководствоваться простотой интегрирования функций, входящих в исходный интеграл.
Пример.
Решить уравнение
Сначала
приведем данное уравнение к стандартному
виду:
Применим
полученную выше формулу:
Пример. Решить
уравнение
Разделим
уравнение на xy2:
Полагаем
.
Полагаем
Произведя обратную подстановку, получаем:
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида:
В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно y(n):
Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений.
Решение
удовлетворяет начальным условиям
,
если
Нахождение решения уравнения , удовлетворяющего начальным условиям , называется решением задачи Коши.
Дифференциальные уравнения высших порядков, решение которых может быть найдено аналитически, можно разделить на несколько основных типов.
Рассмотрим подробнее методы нахождения решений этих уравнений.
Уравнения, допускающие понижение порядка
Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем уравнениям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка.
Уравнения вида y(n) = f(x)
Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то решение может быть найдено последовательным интегрированием.
…………………………………………………………….
Пример. Решить уравнение
с начальными условиями x0
= 0; y0 =
1;
Подставим начальные условия:
Получаем частное решение (решение задачи Коши):
.
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Решение
дифференциального уравнения вида
или, короче,
будем искать в виде
,
где k = const.
Т.к.
то
При этом многочлен называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения.
Для того чтобы функция являлась решением исходного дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы
т.е.
Т.к. ekx
0, то
- это уравнение называется характеристическим
уравнением.
Как и любое
алгебраическое уравнение степени n,
характеристическое уравнение
имеет n корней.
Каждому корню характеристического
уравнения ki
соответствует решение дифференциального
уравнения.
В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь либо n различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные.
Сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.
2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:
a) каждому действительному корню соответствует решение ekx;
б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m решений:
в) каждой паре комплексно – сопряженных
корней
характеристического уравнение ставится
в соответствие два решения:
и
.
г) каждой паре m – кратных комплексно – сопряженных корней характеристического уравнения ставится в соответствие 2m решений:
3) Составляем линейную комбинацию найденных решений.
Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Пример.
Решить уравнение
Характеристическое
уравнение:
Общее решение:
Пример. Решить уравнение
Характеристическое
уравнение:
Общее решение:
Пример. Решить уравнение
.
Составим
характеристическое уравнение:
Общее решение
имеет вид:
Пример.
Решить уравнение
Характеристическое
уравнение:
Общее решение:
