Точки разрыва и их классификация

Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х₀, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х=х₀ является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.

Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.

Если правый односторонний предел , то функция называется непрерывной справа.

х₀

Если левый односторонний предел , то функция называется непрерывной слева.

х₀

Точка х₀ называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х₀ или не является непрерывной в этой точке.

Классификация точек разрыва

Устранимый разрыв. Точка х₀ называется точкой устранимого разрыва функции, если в этой точке функция f(x) не определена, но имеет конечный предел.
Разрыв 1-го рода. Точка х₀ называется точкой разрыва 1-го рода функции, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.
Разрыв 2-го рода. Точка х₀ называется точкой разрыва 2-го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Пример. Функция f(x) = имеет в точке х₀ = 0 разрыв 2–го рода, т.к.

Пример. f(x) =

Функция не определена в точке х = 0, но имеет в ней конечный предел , т.е. в точке х=0 функция имеет точку устранимого разрыва. Этот разрыв можно устранить, если доопределить функцию:

График этой функции:

Пример. f(x) = =

0 x

-1

Эта функция также обозначается sign(x). В точке х = 0 функция не определена. Т.к. левый и правый пределы функции различны, то точка разрыва – 1–го рода. Если доопределить функцию в точке х = 0, положив f(0) = 1, то функция будет непрерывна справа, если положить f(0) = -1, то функция будет непрерывной слева, если положить f(x) равное какому- либо числу, отличному от 1 или –1, то функция не будет непрерывна ни слева, ни справа, но во всех случаях будет иметь в точке х = 0 разрыв 1–го рода.

Непрерывность функции на интервале и на отрезке

Функция f(x) называется непрерывной на интервале (a; b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a; b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a; b) и непрерывна в точке а справа и в точке b слева.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Свойство 1: Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке [a, b] выполняется условие –M  f(x)  M.

Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения. Т.е. существуют такие значения х₁ и х₂, что f(x₁) = m, f(x₂) = M, причем m  f(x)  M.

Свойство 3: Если функция f(x) непрерывна в точке х = х₀, то существует некоторая окрестность точки х₀, в которой функция сохраняет знак.

Свойство 4: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где f(x) = 0.

Свойство 5: Если функция f(x) определена, монотонна и непрерывна на некотором отрезке, то и обратная ей функция х = g(y) тоже однозначна, монотонна и непрерывна на этом отрезке.

Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.