Способы вычисления определителей:

1. Определитель можно вычислить, используя непосредственно его определение. Этим способом удобно вычислять определители второго и третьего порядка.

2. Определитель можно вычислить с помощью его разложения по элементам строки или столбца.

3. Определитель можно вычислить способом приведения к треугольному виду. Этот способ основан на том, что в силу свойства 9треугольный определитель равен произведению элементов главной диагонали.

Чтобы получить треугольный определитель, нужно к какой-либо строке (или столбцу) заданного определителя прибавлять соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, до тех пор, пока не придем к определителю треугольного вида.

Пример. Вычислить определитель матрицы А =

= -5 + 18 + 6 = 19.

Пример: Даны матрицы А = , В = . Найти det (AB).

1-й способ: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A det B = -26.

2- й способ: AB = , det (AB) = 718 - 819 = 126 – 152 = -26.

Пример. Вычислить определитель .

= -1

= -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.

= = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.

= = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.

Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.

Упражнение. Вычислите каждый из следующих определителей двумя способами (с помощью правила треугольников и с помощью разложения по элементам строки или столбца):

а) , б) , в) .

Обратная матрица

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля ( ). В противном случае матрица называется вырожденной ( ).

Если А – квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется матрица, которая при умножении на матрицу А (как слева, так и справа) дает единичную матрицу. Обратная матрица обозначается символом .

Если для квадратной матрицы существует обратная матрица , то справедливо равенство , где – единичная матрица.

Пусть матрица имеет вид:

.

Теорема. Если – невырожденная матрица, то для нее существует обратная матрица , которая вычисляется по формуле

,

где – алгебраическое дополнение для элемента матрицы .

Свойства обратных матриц

1. (A^-1)^-1 = A;

2. (AB)^-1 = B^-1A^-1

3. (A^T)^-1 = (A^-1)^T.

Пример. Дана матрица А = , найти А^-1.

= 4 – 6 = – 2

А₁₁ = 4; А₁₂ = – 3; А₂₁ = – 2; А₂₂ = 1

Таким образом, .

Упражнение. Найти обратные для следующих матриц и проверить результат:

а) , б) , в) .

Ранг матрицы

Ранее для квадратной матрицы -го порядка было введено понятие минора элемента . Так был назван определитель порядка , полученный из определителя вычеркиванием -й строки и -го столбца.

Введем теперь общее понятие минора. Рассмотрим некоторую, не обязательно квадратную матрицу . Выберем какие-нибудь номеров строк и номеров столбцов .

Минором порядка матрицы (соответствующим выбранным строкам и столбцам) называется определитель порядка , образованный элементами, стоящими на пересечении выбранных строк и столбцов, т.е. число

.

Каждая матрица имеет столько миноров данного порядка , сколькими способами можно выбрать номера строк и столбцов .

В матрице размеров минор порядка называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка равны нулю или миноров порядка вообще нет, т.е. совпадает с меньшим из чисел m или n.

Ясно, что в матрице может быть несколько разных базисных миноров. Все базисные миноры имеют один и тот же порядок.

Рангом матрицы называется порядок базисного минора, или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют отличные от нуля миноры. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг такой матрицы, по определению, считают нулем.

Ранг матрицы обозначается символом или RgA. Из определения ранга следует, что для матрицы размеров справедливо соотношение .