Геометрические приложения кратных интегралов

1) Вычисление площадей в декартовых координатах.

y = (x)

y = f(x)

a b x

Площадь S, показанная на рисунке может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле:

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y² = 4x + 4; x + y – 2 = 0.

Линии пересекаются в двух точках – (0, 2) и (8, -6). Таким образом, область интегрирования ограничена по оси Ох графиками кривых от до х = 2 – у, а по оси Оу – от –6 до 2. Тогда искомая площадь равна:

S =

Тема 4.6. Дифференциальные уравнения

В приложениях математики к различным отраслям науки и техники дифференциальные уравнения занимают важное место. В отличие от алгебраических уравнений в дифференциальных уравнениях по некоторым заданным функциям требуется определить функцию, которая задается своими производными. Таким образом, дифференциальными уравнениями описываются более сложные процессы, происходящие в природе и технике.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную х, искомую функцию у и ее производные у′, у′′,…

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Символически дифференциальное уравнение первого порядка записывается следующим образом:

F(x, y, y′) = 0 или у′ = f(x, y)

Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Пример - обыкновенное дифференциальное уравнение 1–го порядка.

- обыкновенное дифференциальное уравнение 2 – го порядка.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция у = φ(х), которая обращает данное уравнение в тождество.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция у = φ(х,С), зависящая от постоянной С и удовлетворяющая данному уравнению при любом фиксированном значении этой постоянной.

Свойства общего решения

1) Т.к. постоянная С – произвольная величина, то, вообще говоря, дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

2) При каких- либо начальных условиях х = х₀, у(х₀) = у₀ существует такое значение С = С₀, при котором решением дифференциального уравнения является функция у = (х, С₀).

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при фиксированных значениях постоянной.

Задачей Коши называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = (х, С₀), удовлетворяющего начальным условиям у(х₀) = у₀.

Теорема Коши (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка)

Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную , то какова бы не была точка (х₀, у₀) в области D, существует единственное решение уравнения , определенное в некотором интервале, содержащем точку х₀, принимающее при х = х₀ значение (х₀) = у₀, т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом: