Свойства определенного интеграла

1. При перестановке пределов изменяется знак интеграла:

= -

2. Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

= 0

3. Отрезок интегрирования можно разбить на части:

= +

4. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов

5. Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла.

Пример. Вычислить определенный интеграл

Применяя формулу Ньютона-Лейбница и свойства определенного интеграла, получим:

= = - = 19,5

Замена переменной в определенном интеграле

Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].

Введем новую переменную в соответствии с формулой x = (t). Тогда если

1) () = а, () = b

2) (t) и (t) непрерывны на отрезке [, ]

3) f((t)) определена на отрезке [, ], то

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Если функции u = (x) и v = (x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

Геометрический смысл определенного интеграла

Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f(x), осью Ох и прямыми x=a, x=b.

Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла

С помощью определенного интеграла можно вычислять площади плоских фигур, так как эта задача всегда сводится к вычислению площадей криволинейных трапеций.

Площадь всякой фигуры в прямоугольной системе координат может быть составлена из площадей криволинейных трапеций, прилегающих к оси Ох или к оси Оу.

Задачи на вычисление площадей плоских фигур удобно решать по следующему плану:

1. По условию задачи сделать схематический чертеж

2. Представить искомую площадь как сумму или разность площадей криволинейных трапеций. Из условия задачи и чертежа определяют пределы интегрирования для каждой составляющей криволинейной трапеции.

3. Записывают каждую функцию в виде y = f(x).

4. Вычисляют площади каждой криволинейной трапеции и площадь искомой фигуры.

Рассмотрим несколько вариантов расположения фигур.

1). Пусть на отрезке [a; b] функция f(x) принимает неотрицательные значения. Тогда график функции y = f(x) расположен над осью Ох.

Площадь такой фигуры вычисляется по формуле: S =

2). Пусть на отрезке [a; b] неположительная непрерывная функция f(x). Тогда график функции y = f(x) расположен под осью Ох:

Площадь такой фигуры вычисляется по формуле: S = -

3)

Площадь такой фигуры вычисляется по формуле: S =

4 ). Пусть на отрезке [a; b] функция f(x) принимает как положительные, так и отрицательные значения. Тогда отрезок [a; b] нужно разбить на такие части, в каждой из которых функция не изменяет знак, затем по приведенным выше формулам вычислить соответствующие этим частям площади и найденные площади сложить.

S₁ = S₂ = - S_ф = S₁ + S₂

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у²=9х, х=16, х=25, у=0.

Для любого значения функция принимает положительные значения, поэтому площадь заданной фигуры находится по формуле: S = = = 2(125-64) = 122 (кв.ед.)