Парабола

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.

у

А М(х, у)

О F x

p/2 p/2

Фокус параболы обозначается буквой F, директриса – d, расстояние от фокуса до директрисы – р.

Каноническое уравнение параболы, фокус которой расположен на оси абсцисс, имеет вид:

y² = 2px или y² = -2px

Уравнения директрис соответственно x = -p/2, x = p/2

Каноническое уравнение параболы, фокус которой расположен на оси ординат, имеет вид:

х² = 2pу или х² = -2pу

Уравнения директрис соответственно у = -p/2, у = p/2

Пример. На параболе у² = 8х найти точки, расстояние которой от директрисы равно 4.

Из уравнения параболы получаем, что р = 4. r = x + p/2 = 4; следовательно:

x = 2; y² = 16; y = 4. Искомые точки: M₁(2; 4), M₂(2; -4).

Раздел 2 элементы линейной алгебры

Тема 2.1. Матрицы и определители

Матрицей размера mn, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a_ij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

А =

Часто вместо подробной записи употребляют сокращенную: .

Виды матриц

Если число строк матрицы равно числу ее столбцов (m = n), то матрица называется квадратной.

Число строк или число столбцов квадратной матрицы называется ее порядком.

Диагональ квадратной матрицы называется главной диагональю, а диагональ – побочной диагональю.

Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, которые находятся ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю, т.е. треугольная матрица имеет вид:

или .

При этом матрицу называют верхнетреугольной, а матрицу – нижнетреугольной.

Квадратная матрица, у которой отличны от нуля только элементы, расположенные на главной диагонали, называется диагональной матрицей.

Среди квадратных матриц важную роль играет матрица вида:

,

которая называется единичной. Для любой квадратной матрицы А имеют место равенства: АЕ = ЕА = А

Если a_mn = a_nm , то матрица называется симметрической.

Пример. - симметрическая матрица

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается:

Равенство матриц

Две матрицы и называются равными, если совпадают их размеры и при любых и .

Транспонированная матрица

Наряду с матрицей часто приходится рассматривать матрицу, столбцами которой являются строки матрицы А (т.е. столбцы и строки меняются местами). Эта матрица называется транспонированной к А и обозначается через :

.

Например, А = , A^T = ;