Замечательные пределы

Первый замечательный предел:

Следствия: 1) ;

2) ;

3) .

Второй замечательный предел:

Следствие:

Третий замечательный предел:

Четвертый замечательный предел: при , .

Часто если непосредственное нахождение предела какой – либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.

Пример. Вычислить предел

Пример. Вычислить предел

Пример. Вычислить предел

Пример. Вычислить предел =

Пример. Вычислить предел

Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение: = .

Пример. Вычислить предел

Пример. Вычислить предел

Разложим числитель и знаменатель на множители. x² – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)

x³ – 6x² + 11x – 6 = (x – 1)(x – 2)(x – 3), т.к.

x³ – 6x² + 11x – 6 x - 1

x³ – x² x² – 5x + 6

- 5x² + 11x

- 5x² + 5x

6x - 6

6x - 6 0

x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3). Тогда

Пример. Вычислить предел

Для самостоятельного решения:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

Непрерывность функции в точке

Пусть функция f(x) определена в окрестности некоторой точки х_0.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, но не является непрерывной в самой точке х₀, то она называется разрывной функцией, а точка х₀ – точкой разрыва функции.

Пример непрерывной функции:

y

f(x₀)+

f(x₀)

f(x₀)-

0 x₀- x₀ x₀+ x

П ример разрывной функции:

y

f(x₀)+

f(x₀)

f(x₀)-

x₀ x

Свойства непрерывных функций

1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х₀ функций – есть функция, непрерывная в точке х₀.

2) Частное двух непрерывных функций – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х₀.

3) Если у = f(u), где u = g(x) – непрерывные функции в точке х = х₀, то функция y = f(g(x)) – также непрерывна в этой точке.

Непрерывность некоторых элементарных функций

1) Функция f(x) = C, C = const – непрерывная функция на всей области определения.

2) Рациональная функция непрерывна для всех значений х, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Таким образом, функция этого вида непрерывна на всей области определения.

3) Тригонометрические функции непрерывны на своей области определения.

Вообще следует заметить, что все основные элементарные функции непрерывны на всей своей области определения.