Задание: Упростить определитель четвёртого порядка и вычислить его по теореме Лапласа
Решение:
Преобразуем матрицу так, чтобы в 3-й строке все элементы, кроме одного, обращались в нуль. Для этого умножим элементы 3-го столбца на (-4), затем на (2) и прибавим их соответственно к элементам 1-го и 2-го столбцов. Затем полученный определитель разложим по элементам третьей строки:
=
=0+0+1
+0.
Полученный определитель третьего порядка можно вычислить, например, по «правилу треугольников», или продолжить его упрощение. «Обнулим» в матрице третьего порядка элементы 2-й строки (кроме одного). Для этого элемента 3-го столбца матрицы, предварительно умножив на (-13) и на (4), сложим с элементами 1-го и 2-го столбцов соответственно:
=
.
Раскладываем по элементам 2-ой строки и, вынося общие множители столбцов за определитель, получаем:
=
8
Ответ: -144
Методические указания и примеры типового расчёта заданий практической работы №2 по теме
«Решение систем линейных алгебраических уравнений
различными методами»
Теория
Для
систем линейных уравнений A:
Запишем расширенную матрицу коэффициентов системы:
.
Определитель
системы 
.
Теорема
Крамера:
Пусть 
-
определитель системы А, а 
определитель матрицы, полученной из
матрицы А заменой j-го
столбца столбцом свободных членов.
Тогда, если 
,
то система имеет единственное решение,
определяемое по формулам:
, (j=1,
2, …, n).
Если
=0:
1) и при этом хотя бы один 
0, то решений нет (т.е. система несовместная);
2)
и при этом все 
=0,
то решений бесконечно много (т.е. система
неопределённая).
Задание 1 (а). Решить систему уравнений (СЛАУ) по формулам Крамера:
Решение:
Выпишем
расширенную матрицу коэффициентов:
.
Вычислим
определители матрицы:
3
Теперь
по формулам Крамера: 
; 
; 
.
Ответ: (4;2;1)
Решение системы линейных уравнений средствами матричного исчисления Теория
Дана СЛАУ
Запишем эту систему линейных алгебраических уравнений в матричной форме.
Обозначим:
А=
- матрица коэффициентов при переменных,
или матрица системы;
Х=
- матрица -столбец переменных;
В
- матрица- столбец свободных членов.
Матричное уравнение:
Для решения этого матричного уравнения, если квадратная матрица А является невырожденной, умножим обе части уравнения слева на обратную матрицу :
так
как
, то решением системы методом обратной
матрицы будет матрица- столбец Х=
Задание 1 (б). Решить систему уравнений методом обратной матрицы:
Решение:
А=
, Х= 
, В= 
.
Тогда в матричной форме данная система уравнений имеет вид:
, её решение Х= .
Главный
определитель матрицы 
,
значит, обратная матрица существует.
Найдём обратную матрицу :
Транспонируем
матрицу А: 
.
Найдём
алгебраические дополнения элементов
транспонированной матрицы 
:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Составим
из них присоединённую матрицу 
:
.
Вычислим
обратную матрицу по формуле 
:
.
Тогда,
Х=
= 
= 
= 
= 
.
Значит,
,
,
.
Ответ: (4;2;1)