Примеры типового расчета
Задание
1. Найти
частное решение простейшего
дифференциального уравнения второго
порядка: 
.
Решение:
Пусть
разделяющимися переменными.
Чтобы разделить переменные в дифференциальном уравнении, умножим обе части уравнения на dx:
dp= (1-2x) dx – переменные разделились, можно интегрировать.
отсюда находим функцию 
Возвращаемся к исходной неизвестной функции у(х), получим
снова получили дифференциальное
уравнение первого порядка с разделяющимися
переменными.
-общее решение
дифференциального уравнения II
порядка.
Чтобы
найти частное
решение,
учтём начальные условия: 
Получим систему уравнений:
,
.
Подставим
найденные с1
и с2
в общее решение дифференциального
уравнения, получим: 
Ответ:
Задание 2. Найти частное решение дифференциального уравнения:
Решение:
Пусть
заданное уравнение примет вид:
Чтобы разделить переменные в этом дифференциальном уравнении первого порядка, умножим обе части уравнения на dx:
, переменные разделились. Интегрируем:
отсюда получим
Возвращаемся к исходной неизвестной
функции y(х):
умножим обе части уравнения на dx
:
, переменные
разделились, интегрируем:
,
,
- общее решение
дифференциального уравнения.
Чтобы
найти частное
решение
дифференциального уравнения, учтем
начальные условия: 
.
Получим систему уравнений:
Подставив в общее решения дифференциального уравнения найденные значения с1 и с2 , получим:
- частное решение дифференциального
уравнения.
Ответ:
|
|
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида
где p, q − постоянные коэффициенты. Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое
уравнение:
Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от вида корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:
Тогда корни характеристического уравнения k1 и k2 действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией
где C1 и C2 − произвольные действительные числа.
Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k1 второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:
Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k1 = α + βi, k1 = α − βi. Общее решение записывается в виде
Рассмотренные три случая представлены в таблице: |
|
Пример 1. |
Решить дифференциальное уравнение y'' − 6y' + 5y = 0. Решение: Запишем сначала соответствующее характеристическое уравнение:
Корни данного уравнения равны k1 = 1, k2 = 5. Поскольку корни действительны и различны, общее решение будет иметь вид:
Ответ:
y( |
Пример 2. |
|
Найти общее решение дифференциального уравнения y'' − 6y' + 9y = 0. Решение: Вычислим корни характеристического уравнения:
Характеристическое уравнение имеет один корень второго порядка: k = 3. Поэтому общее решение дифференциального уравнения определяется формулой
Ответ:
y(
)= |
Пример 3. |
|
Решить дифференциальное уравнение y'' − 4y' + 5y = 0. Решение: Сначала запишем соответствующее характеристическое уравнение и определим его корни:
Таким образом, характеристическое уравнение имеет пару
комплексно-сопряженных
корней:
В этом случае общее решение выражается формулой
Ответ:
y(
) |
Пример 4. |
|
Решить уравнение y'' + 25y = 0. Решение: Характеристическое
уравнение имеет вид:
Корни этого уравнения являются чисто мнимыми:
Тогда ответ записывается в следующем виде:
|
где
C1
и C2
− произвольные постоянные.
)=
C1
C2
где
,
− произвольные действительные числа.
= 2 + i, 
= 2 − i.
где
,
−
произвольные постоянные.
,
−
постоянные интегрирования.
Ответ:
