Производная степенно-показательной функции
Пусть y=(u(x))v(x), где u(x) > 0, т.е. основание степени u(x) и её показатель v(x) являются функциями переменной х.
Функции u(x) и v(x) предполагаем дифференцируемыми для рассматриваемых значений х. Логарифмируя степенно-показательную функцию, имеем
Дифференцируем последнее равенство с учётом того, что левая и правая его части являются сложными функциями аргумента х. Получаем
подставляя
вместо "y" её значение 
получим:
Таким образом, производная степенно-показательной функции равна сумме производных это функции, если её рассматривать сначала как показательную, и затем как степенную.
Примеры типового расчёта
Задание 1. Найти y', если y = (sin x)x
Решение:
Применим логарифмическое дифференцирование. Найдем ln y = xln sin x, тогда, дифференцируя обе части равенства, получим
y'/y = ln sin x +(xcos x)/sin x.
Отсюда находим y' = (sin x)x(ln sin x +(xcos x)/sin x).
Ответ:
y' = (sin
x)x(ln
sin
x +
)
Задание
2. Найти
производную
y'(x)
функции
Решение:
Прологарифмируем
обе части :
,
применим
свойства логарифмов:
,
продифференцируем
обе части:
отсюда
выразим производную
:
=
Ответ:
=
Задание
3. Продифференцировать
функцию 
Решение:
Найдём логарифмическую производную функции:
,
или, подставляя 
найдём
Задание
4. Найти
производную функции 
Решение:
Найдём
Продифференцировав обе части равенства, имеем
можно выполнить преобразования:
Ответ:
Дифференцирование функции заданной параметрически
Пусть
функция 
задана параметрическими уравнениями:
,
где t ∈
T.
Предположим,
что функции 
и
Тогда
или 
Вторая производная функции заданной параметрически находится по формуле:
или 
Пример типового расчёта
Задание.
Найти первую
и вторую производные функции у(х),
заданной параметрическими уравнениями
Решение:
Найдём:
.
Тогда
первая производная находится по формуле:
, тогда
Найдём теперь вторую производную:
, тогда 
отсюда
Ответ:
,
=
Методические указания и примеры типового расчёта
заданий практической работы №7 по теме
«Применение методов дифференциального исчисления в задачах прикладного характера. Построение графика функции. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке»
Теория
Если
в критической точке (в которой производная
или не существует) вторая производная
функции 
положительна, то в этой критической
точке будет точка минимума (Рис.1), а если
в критической точке вторая производная
отрицательна, то в этой точке будет
точка максимума (Рис.2).
Рис.1 Рис.2
Правило исследования функции на экстремум по второй производной:
1.
Найти 
производную 
.
2.
Найти критические точки функции, решив
уравнение 
3.
Найти 
производную 
.
4. Вычислить в найденных критических точках значение производной.
5.
По знаку 
производной сделать вывод о том, является
ли критическая точка 
точкой максимума или точкой минимума.
6. Вычислить в найденной точке экстремума сам экстремум функции.
Примечание:
Если в критической точке 
вторая производная оказалась равна 0,
то это неопределённый случай, и тогда
исследовать на экстремум придётся по
первой производной.
Пример
1. Исследовать
функцию 
на экстремум по второй производной.