Интегрирование по частям
В некоторых случаях метод подстановки не позволяет интеграл свести к табличному, и тогда применяют формулу интегрирования по частям:
-
это дифференцируемые функции относительно
х.
Суть применения формулы интегрирования по частям состоит в том, что от первого интеграла ( неберущегося никаким методом) удаётся прийти к другому интегралу, который можно взять либо непосредственным интегрированием, либо методом подстановки.
Примечание: можно условно выделить два типа интегралов, в которых за u и dv применяют следующие выражения:
I тип. Это интегралы вида
В этих интегралах за u принимаем многочлен u = P(x), а всё остальное принимаем за dv.
II тип. Это интегралы вида
Здесь
за u нужно принимать или ln
x,
или arctg
x,
или arcsin
x,
а всё остальное -за dv. То есть 
Пример
1. Найти
неопределённый интеграл 
Ответ:
Это
интеграл 
:
Ответ:
Решение:
Интеграл I типа, поэтому принимаем линейный многочлен за "u", всё остальное за dv:
=
Ответ:
Методические указания и примеры типового расчёта
заданий практической работы №9 по теме
«Вычисление определённых интегралов»
Теория
Вычисление определенного интеграла
Формула
Ньютона-Лейбница:
Правило
вычисления определенного интеграла:
сначала найти соответствующий
неопределённый интеграл, затем в
полученное его выражение подставить
вместо "х" сначала верхний , а затем
нижний пределы определённого интеграла
и из первого результата подстановки
вычесть второй: 
Пример 1. Вычислить определенный интеграл:
Пример 2. Вычислить определенный интеграл:
Пример 3. Вычислить определённый интеграл:
Метод подстановки в определенном интеграле
Применение
метода подстановки в определённом
интеграле аналогично применению этого
метода в неопределённом интеграле. Но
нужно пересчитать новые пределы
интегрирования 
, зато не нужно возвращаться к исходной
переменной x
(в отличие от неопределенного интеграла).
Примеры типового расчета
Пример
1. Вычислить определённый интеграл 
Решение:
= переходим
к
новой
переменной
t
Пример
2. Вычислить определённый интеграл 
Решение:
=
Методические указания и примеры типового расчёта
заданий практической работы №10 по теме
«Решение задач прикладного характера с помощью
определённого интеграла»
Задание. Вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке.
Решение:
(кв.ед)
Методические указания и примеры типового расчёта
заданий практической работы №11 по теме
«Решение дифференциальных уравнений I порядка»
Теория
Определение: Дифференциальными уравнениями называются уравнения, содержащее производную y’(х) или дифференциал dy искомой функции у.
-дифференциал
функции.
Решить дифференциальное уравнение - это значит, найти такую неизвестную функцию у, при подстановке которой в это дифференциальное уравнение, оно обращается в тождество.
Определение: Дифференциальными уравнениями первого порядка называются дифференциальные уравнения, содержащие производную либо дифференциалы не выше первого порядка.
- дифференциальное уравнение 1-го порядка,
- дифференциальное уравнение 1-го порядка,
- дифференциальное уравнение 2го порядка.
Задача, приводящая к дифференциальному уравнению:
Составить уравнение кривой у = у(х), если известно, что кривая проходит через точку А(1;3) и угловой коэффициент k касательный к этой кривой, задается уравнением k = 2x.