Решение:

1. Найдём первую производную: ;

2. Найдём критические точки функции: , тогда получим уравнение

,

,

,

, - критические точки функции;

3. Найдём вторую производную: ;

4. Определим знак второй производной в найденных критических точках:

, значит, точка - точка max ,

, значит, точка - точка min;

5. Вычислим значение экстремума функции в точках экстремума:

;

Ответ: при ; при .

Пример 2. Составить уравнение касательной к кривой ,

в точке с абсциссой .

Решение:

Уравнение касательной:

тогда

или

или

Ответ:

При решении прикладных задач, в частности оптимизационных, важное значение имеют задачи по нахождению наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке (глобального максимума и глобального минимума).

Схема исследования:

1. Найти производную ;

2. Найти критические точки функции (в которых = 0 или не существует);

3. Найти значение функции в критических точках и на концах отрезка, и выбрать из них наибольшее и наименьшее .

Примеры типового расчёта

Задание 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [0;5].

Решение:

1. ;

2. , т. е. критические точки , .

3. Значение функции в критических точках ; и на концах отрезка и

Ответ: , .

Задание 2. Исследовать функцию по первой и второй производной и построить её график:

Решение:

1. Область определения функции ;

2. Исследуем функцию на монотонность и на экстремум:

Критические точки функции:

,

,

Определим знак производной в каждом интервале монотонности:

, точка max, так как производная изменила знак с "+" на "−",

, точка min, так как производная изменила знак с "−" на "+".

Вычислим сам экстремум функции в этих точках:

3. Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость кривой и перегиб:

Критические точки: , , ,

Определим знак II производной в интервале кривизны:

, значит, кривая выпуклая на промежутке,

, значит, кривая вогнутая на промежутке;

Вычислим ординату точки перегиба:

4. Найдём дополнительные точки графика:

По результатам исследования строим график функции:

Пример 2. Исследовать функцию по первой и второй производной и построить её график: .

Решение:

1. Область определения функции ,

точка разрыва, чтобы определить её характер, найдём правосторонний и левосторонний пределы функции в этой точке:

Значит, точка разрыва рода,

прямая вертикальная асимптота графика функции.

Найдём наклонную асимптоту графика:

где угловой коэффициент прямой найдём по формуле

Так как существует, то есть и наклонная асимптота. Вычисляем коэффициент b:

Значит, наклонная асимптота графика имеет уравнение .

2. Исследуем функцию на монотонность и на экстремум:

, учтем правило дифференцирования

Критические точки функции:

, , , , х=2,

не существует при х=0.

Определим знак производной в интервалах монотонности:

,

точка min, так как производная изменила знак с "−" на "+".

Вычислим сам экстремум функции:

3. Исследуем функцию на перегиб. Найдём вторую производную:

Критические точки функции, в которых или не существует:

критическая точка.

Определим знак второй производной в каждом интервале кривизны:

, значит, кривая вогнутая;

, значит, кривая вогнутая.

Точек перегиба график функции не имеет.

Найдём дополнительные точки графика:

у=0, тогда -это точка пересечения графика функции с осью Ох;

при х=1: у= точка (1;5);

при х=4: у= точка (4;4,25).

По результатам исследования строим график функции:

Методические указания и примеры типового расчёта

заданий практической работы №8 по теме

«Нахождение неопределенных интегралов»

Теория

Определение. Первообразной функцией для функции называется такая функция , производная от которой равна : F'(x) = f(x).

Определение. Неопределённый интеграл это совокупность всех первообразных функций для дифференциала :

+c

Основные свойства неопределенного интеграла:

1. Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению: d f(x)dx = f(x)dx.

2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен самой этой функции, сложенной с произвольной постоянной: dF(x) = F(x)+C.

3. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов от каждой функции:

( x)+ (x))dx = (x)dx+ (x)dx.

4. Постоянный множитель можно вынести за знак неопределённого интеграла (как множитель): kf(x)dx = k f(x)dx, где k-постоянный множитель.

Таблица основных формул интегрирования

1. ; 2. n 9.

3. , 4. , 10.

5.  , 6. ,

7. , 8. ,