Пример типового расчёта

Задача 1: Дан c вершинами , , Найти: 1) Длины сторон треугольника; 2) Длины его медиан; 3) Координаты центра тяжести; 4) Площадь треугольника; 5) Угол при вершине ; 6) Составить уравнения сторон треугольника; 7) составить уравнения медиан треугольника; 8) составить уравнение высоты , опущенной из вершины треугольника; 9) найти длину высоты . Сделать чертёж.

Решение:

1) Найдем длины сторон по формуле :

= 3 (ед.дл.);

= 8,25 (ед.дл.);

= = 7,69 (ед.дл.).

2)Найдем координаты середин сторон треугольника по формуле M

, ;

, ;

, .

Тогда длины медиан:

3) Координаты центра тяжести, т.е.координаты точки пересечения медиан треугольника, найти по формулам: , где =2:1=2, тогда

; .

Возьмём медиану : , , тогда

; ; значит, координаты центра тяжести треугольника:

4)Площадь найдем по формуле: . Здесь =3, =

Найти .

Координаты векторов найдем по формуле = ( :

= = (0;-3);

= = (-8;-2).

Скалярное произведение векторов находим по формуле: .

Тогда, = 0 (-8)+ (-3) (-2)= 6

Значит, . Отсюда ,

Следовательно, (кв. ед. дл).

5) Найдем угол при вершине . Он заключен между векторами

, ,

Тогда arccos 0,242 .

6) Составим уравнение сторон ∆ . Применим уравнение прямой , проходящей через две заданные точки: .

Сторона : (6;6), (6;3), тогда

; x-6=0, x=6 –общее уравнение стороны

Сторона : ,

отсюда -1(x+2)=8(y-4), -x-2=8y-32,

-x-2-8y+32=0, -x-8y+30=0, умножить обе части уравнения на (-1):

общее уравнение стороны

,

, отсюда – общее уравнение стороны .

7) Составим уравнение медиан ∆ :

Медиана : подставим координаты точки ), в уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: =

= ,

,умножим обе части ур. на (-2):

общее уравнение медианы .

Медиана : ,

= отсюда - общее уравнение медианы

Медиана : ,

, отсюда - общее уравнение медианы

8) Для высоты опущенной из вершины треугольника, нормальным вектором является вектор Найдем его координаты:

= =(-2-6; 4-3)=(-8;1)

Подставим координаты нормального вектора =(-8;1) и координаты точки в уравнении прямой с заданным нормальным вектором

А(x- )+B(y- )=0:

-8(x-6)+1(y-6)=0, отсюда -8x+y+42=0 , умножим части уравнения на (-1):

- общее уравнение высоты .

9) Длина высоты равна расстоянию от точки прямой , общее уравнение которой имеет вид x+8y-30=0. Подставим эти данные в формулу нахождения расстояния от точки ( ; ) до прямой Ax+By+С=0:

d= , имеем d= = (ед.дл.)

Длину высоты N можно найти и другим способом. Найдем координаты точки , которая является точкой пересечения прямых N и .

Для этого решим систему двух линейных уравнений:

, , =64+1=65 ,

= =336+30=366,

∆y= =240-42=198; по формулам Крамера: x=

y=

Итак , N (5,63;3,05).

Длину высоты N найдем по формуле "расстояние между двумя точками": |AB|= , тогда получим:

d=| N|=

Ответ: 1) ;

2) ; ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) уравнение стороны ;

уравнение стороны ;

уравнение стороны ;

7) уравнение медианы ;

уравнение медианы ;

уравнение медианы ;

8) уравнение высоты ;

9) d= .

Задача 2. Дано: АВС, А(6;5), В(1;-3), С(-4;2).

Составить:1)уравнение стороны ВС; 2)уравнение медианы AF; 3) Уравнение высоты СЕ. Найти: 4) угол между медианой AF и высотой СЕ.

Сделать чертеж.