8.2.3 Оценка качества по лачх разомкнутой сау

Оценка качества замкнутой системы по ЛАЧХ разомкнутой системы производится путем сопоставления ее фактической ЛАЧХ с так называемой желаемой ЛАЧХ разомкнутой системы, при которой обеспечиваются переходные процессы в системе, близкие к оптимальным. При построении такой желаемой ЛАЧХ руководствуются следующими соображениями:

1) участок низких частот ЛАЧХ определяет допустимую установившуюся ошибку в системе, а, следовательно, ее коэффициент передачи в разомкнутом состоянии и порядок астатизма;

2) участок средних частот определяет запас устойчивости системы (на этом участке расположена частота среза ЛАЧХ);

3) высокочастотный участок определяет начало переходного процесса и мало влияет на показатели качества системы.

На рис. 8.8 приведен примерный вид желаемых ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы (желаемой диаграммы Боде).

Если система статическая, то на участке низких частот ЛАЧХ должна идти параллельно оси абсцисс и иметь ординату 20lgk. Коэффициент передачи разомкнутой системы определяется из выражения (4.3) с учетом допустимой установившейся ошибки регулирования при подаче на вход системы единичного ступенчатого воздействия.

Если система должна иметь астатизм 1-го порядка, то на участке низких частот ЛАЧХ должна иметь наклон -20дБ/дeк (см. полужирную пунктирную линию на рис. 8.8). Если порядок астатизма должен быть выше, то на участке низких частот ЛАЧХ должна иметь наклон -40дБ/дeк или даже -60дБ/дeк (см. полужирную штрихпунктирную линию на рис. 8.8). При ω = 1 ЛАЧХ должна проходить через точку с ординатой 20lgk как статической, так и астатической систем.

Частота среза участка средних частот выбирается с учетом заданных времени регулирования t_p и перерегулирования σ%. Между временем регулирования и частотой среза имеется следующая приближенная зависимость:

Рис. 8.8 Примерный вид желаемой диаграммы Боде

, (8.13)

где β - коэффициент, зависящий от перерегулирования σ% (рис. 8.9) [1].

Рис. 8.9 Приближенная зависимость

β = f(σ%)

Система имеет наиболее благоприятный переходный процесс при наклоне ЛАЧХ -20 дБ/дек в интервале частот ω_к1 < ω_с < ω_к2 .

Имеется несколько рекомендаций по выбору сопрягающих частот ω_к1 и ω_к2 [1, 5] .

Интервалы частот между частотой среза ω_с и ω_к1 , ω_к2 рекомендуют выбирать равными (0,5…0,9) дек [1].

Эти интервалы частот также можно выбирать по значениям ЛАЧХ на частотах ω_к1 и ω_к2.

Значение L₁ ЛАЧХ в начале этого интервала ω_к1 выбирают из условия, чтобы значение ЛФЧХ (рис. 8.8) на этой частоте было не менее φ₁=40°. При этом значение ЛФЧХ при частоте среза ω_с должно быть равно требуемому запасу устойчивости по фазе φ (ω_с) = γ = 30º…45º.

Значение L₂ ЛАЧХ в конце интервала ω_к2 выбирают равным требуемому запасу устойчивости системы по модулю в децибелах L₂ = 10дБ...20дБ. Иногда запас устойчивости системы по модулю рекомендуют выбирать в зависимости от допустимого перерегулирования в системе по графику, приведенному на рис. 8.10 [1].

Рис. 8.10 Приближенная зависимость

L₂ = f(σ %)

С учетом изложенного рекомендуется следующий порядок построения желаемой ЛАЧХ:

1) с учетом требуемой статической ошибки регулирования выбирается коэффициент передачи разомкнутой системы k или порядок астатизма; через точку (20lgk, 1) проводится участок низкочастотной ЛАЧХ с нулевым наклоном к оси абсцисс (для статической системы) или с наклоном -20дБ/дек, -40дБ/дек или -60дБ/дек (для астатической системы 1-го, 2-го или 3-го порядка);

2) исходя из требуемого времени регулирования t_р по формуле (8.13) определяется частота среза ω_с:

3) через точку (0, ω_с) проводится участок среднечастотной ЛАЧХ с наклоном -20дБ/дек;

4) определяются сопрягающие частоты ω_к1 и ω_к2 по требуемым значениям φ(ω_к1) ЛФЧХ на частоте ω_к1 и L₂(ω_к2) ЛАЧХ на частоте ω_к2;

5) через точку (L₂, ω_к2) проводится прямая с наклоном -40дБ/дек или -60дБ/дек, определяющая характер ЛАЧХ в области высоких частот.

Наклон ЛАЧХ в интервале частот ω₁<ω<ω_к1 и ω>ω_к2 выбирается из условия наиболее простой практической реализации ЛАЧХ, так как характер ЛАЧХ в этих интервалах частот существенного влияния на переходный процесс в системе не оказывает. После построения желаемой ЛАЧХ системы путем изменения параметров настройки регулятора (корректирующего устройства) добиваются удовлетворительного совпадения фактической ЛАЧХ системы с желаемой.

Показатели качества регулирования (перерегулирование, время регулирования, колебательность и т. д.) после определения структуры и параметров регулятора определяются по фактической ЛАЧХ системы. Методы определения структуры и параметров оптимальных регуляторов, т. е. решение задачи синтеза системы, рассмотрены в гл. 10.

8.2.4 Интегральные оценки качества

В основе интегральных оценок качества лежит предположение, что качество регулирования тем выше, чем меньше площадь между кривой переходного процесса и заданным значением регулируемой переменной. Интегральные оценки качества являются строгой математической формулировкой понятия качества системы, и их минимизация позволяет определить оптимальные параметры системы управления, т. е. решить задачу параметрического синтеза системы. Для этой цели применяются процедуры безусловной и условной оптимизации [1, 2, 5].

Наибольшее применение для косвенной оценки качества САУ находят интегральные оценки вида [1, 5]:

; (8.14)

; (8.15)

; (8.16)

; (8.17)

, (8.18)

где - текущая ошибка регулирования, являющаяся функцией времени,

С – некоторый весовой коэффициент, характеризующий допустимую скорость изменения ошибки регулирования, а, следовательно, выходной координаты в переходном процессе.

В критерии (8.14) подынтегральное выражение линейно относительно ошибки регулирования и такая оценка применяется только для апериодического переходного процесса, когда ошибка имеет положительный знак.

Интегральная квадратичная оценка (ИКО) вида (8.15) применяется при колебательном характере переходных процессов, характеризующихся сменой знака ошибки регулирования. Интегральная квадратичная оценка (8.16) применяется в тех случаях, когда требуется учитывать ограничения энергии управления.

Широко используемым видом оценки качества является интеграл от модуля ошибки (ИМО) – (8.17), позволяющем учесть смену знака подынтегральной функции.

Чтобы уменьшить вклад начальной ошибки в интеграл (8.17) и учесть связанную с этим ошибку была предложена [5] оценка в виде интеграла от взвешенного модуля ошибки (ИВМО) в виде (8.18).

Рассмотрим пример. Пусть передаточная функция замкнутой системы 2-го порядка имеет вид:

, (8.19)

где - коэффициент затухания.

Нормированное значение собственной частоты принято . На рис. 8.11 приведены кривые, отражающие изменение двух из приведенных выше интегральных оценок системы (ИКО и ИВМО) в функции коэффициента затухания .

Рис. 8.11 Интегральные оценки

качества системы второго порядка

Как видим, оценка ИВМО по сравнению с ИКО имеет ярко выраженный минимум (хорошую избирательность), соответствующий = 0,707, что для данной системы 2-го порядка обеспечивает наиболее быстрое протекание переходного процесса с перерегулированием около 4,3%.

Рассмотрим еще один пример. Пусть передаточная функция замкнутой системы имеет достаточно общий вид нерекурсивного фильтра n-го порядка:

. (8.20)

Безусловная оптимизация систем первого-четвертого порядка (n=1…4), описываемых передаточными функциями (8.20), по критерию ИВМО дает оптимальные значения коэффициентов полиномов знаменателей этих передаточных функций, приведенные в табл. 8.1. Значения коэффициентов нормированы относительно собственной частоты колебаний .

На рис. 8.12 приведены кривые переходных процессов, соответствующих оптимальным по критерию ИВМО фильтрам первого-четвертого порядка.

Таблица 8.1

Оптимальные значения коэффициентов полиномов знаменателей

передаточных функций САУ по критерию ИВМО

Порядок системы	Полином знаменателя передаточной функции
n=1
n=2
n=3
n=4

Значения коэффициентов нормированы относительно собственной частоты колебаний . На рис. 8.12 приведены кривые переходных процессов, соответствующие оптимизации фильтров первого-четвертого порядка по критерию ИВМО.

Рис. 8.12 Переходные характеристики, соответствующие

оптимизации систем по ИВМО

Графики построены в зависимости от нормированного времени .

Кроме приведенных оценок для оптимизации систем управления применяются и другие интегральные критерии качества, в частности, лежащие в основе синтеза фильтров Баттерворта, широко применяемых при настройке контуров электромеханических систем управления (см. гл. 10.4).