9.4 Весовая или импульсная переходная матрица

Рассмотрим более подробно общее решение векторно-матричного уравнения детерминированной линейной непрерывной САУ, представленное уравнением (9.11). Первое слагаемое, обеспечивающее решение уравнения движения системы под действием ненулевых начальных условий (ненулевого вектора состояния системы), предполагает знание матрицы переходных состояний системы. Эту матрицу перехода иногда называют матрицей Коши системы, являющейся частным видом фундаментальной матрицы перехода. К сожалению, в технической литературе имеет место неоднозначное и подчас нестрогое толкование понятий матрицы перехода, матрицы Коши и фундаментальной матрицы перехода [2–5]. В любом случае матрицы, элементами которых являются переходные функции, относят к матрицам переходных состояний. Матрицы, элементами которых являются весовые функции, относят к весовым матрицам (импульсным переходным) матрицам. Понятие весовых функций применительно к одномерным САУ было введено в главе 4.

К весовой матрице многомерных САУ можно отнести подынтегральное выражение общего решения уравнения движения как одномерных систем управления (4.4), так и многомерных САУ (9.11). В частности, для многомерных САУ весовая (импульсная переходная) матрица имеет вид

при , . (9.17)

Столбцы этой матрицы можно рассматривать как реакцию системы (9.3) на входные (управляющие) воздействия в виде импульсных -функций на каждом из входов системы при нулевых начальных условиях, т. е. .

Заметим, что между передаточными и весовыми матрицами имеется однозначная связь, основанная на прямом преобразовании Лапласа:

. (9.18)

9.5 Управляемость и наблюдаемость сау

Описание систем в пространстве состояний с успехом используется для синтеза (оптимальной коррекции) систем управления. Для этого оптимальное управление U(t) формируют как функцию доступных измерению координат состояния системы, т.е. реализуют оптимальный регулятор состояния. Возможность создания замкнутой по вектору состояния оптимальной системы управления предполагает, что она удовлетворяет условиям управляемости и наблюдаемости.

Линейная стационарная система управления (9.3) является управляемой, если существует такое управление U(t) размерности , которое может перевести систему из произвольного начального состояния X(0) в заданное конечное состояние X(t). Это условие записывается в виде

, (9.18)

где H – гиперматрица управляемости порядка .

Условие (9.18) означает, что система (9.3) будет полностью управляемой, если ранг гиперматрицы H равен n, т. е. матрица управляемости содержит n независимых векторов-столбцов, а, следовательно, ее определитель не равен нулю.

Если управление является скалярной функцией времени, т. е. U(t)=u(t), то гиперматрица H будет представлять собой квадратную матрицу порядка .

Управляемость системы можно определить и по структуре сигнального графа системы – он должен иметь пути от управляющего воздействия к каждой из переменных состояния.

Рассмотрим систему третьего порядка, описываемую передаточной функцией

. (9.19)

Ей соответствует сигнальный граф в переменных состояния, приведенный на рис. 9.6.

Видно, что существуют пути от управляющего воздействия u ко всем переменным состояния системы, следовательно, она является управляемой.

Для объекта (9.19) можно записать матричное дифференциальное уравнение

,

где X – вектор состояния системы, , n = 3.

Рис. 9.6 Сигнальный граф системы третьего порядка

Тогда матрица управляемости

,

а, следовательно, убеждаемся, что система является управляемой.

Понятие наблюдаемости системы связано с возможностью оценки ее переменных состояния.

Линейная стационарная система управления, описываемая уравнениями (9.3), (9.5) является наблюдаемой, если существует конечное время T такое, что в результате наблюдения выходной переменной Y(t), , может быть определено начальное состояние X(0) при заданном управлении U(t).

Это условие записывается в виде

, (9.20)

где G – гиперматрица наблюдаемости порядка , q – размерность вектора Y(t).

Условие (9.20) означает, что система будет полностью наблюдаемой, если ранг гиперматрицы G равен n, т. е. матрица наблюдаемости содержит n независимых векторов-столбцов а, следовательно, ее определитель не равен нулю.

Если объект управления одномерный, т. е. выходная переменная одна, то матрица K является вектором-строкой размерности , а матрица наблюдаемости G будет представлять собой квадратную матрицу порядка . Условие наблюдаемости для одномерных САУ можно записать в виде

. (9.21)

Система будет наблюдаемой, если каждая переменная состояния вносит свой вклад в формирование вектора выходных переменных Y(t).

Наблюдаемость системы можно определить и по структуре сигнального графа системы – он должен иметь пути от каждой переменной состояния к выходной переменной.

Для объекта (9.19) выходной переменной является координата y(t), равная переменной x₁(t) , а, следовательно, матрица K имеет вид:

.

Условие наблюдаемости САУ (9.19) можно записать в виде:

.

Система является наблюдаемой, поскольку ранг матрицы G полный и каждая переменная состояния вносит свой вклад в формирование выходной переменной y(t). Из рассмотрения графа системы (см. рис. 9.6) также следует, что от каждой координаты состояния имеются пути к выходной переменной, а, значит, система полностью наблюдаема.