4.3 Переходные и импульсные характеристики сау

`

Временные характеристики линейной САУ (динамического звена) могут быть определены по ее переходной и импульсной переходной функции.

Одним из наиболее распространенных тестовых воздействий на систему является единичное ступенчатое воздействие x(t), которое может быть представлено в виде функции

(4.12)

или в виде графика, приведенного на рис. 4.4.

Следует отметить, что ступенчатое воздействие на входе САУ это не только типовое тестовое воздействие. Оно относится к одному из наиболее распространенных программно-временных задающих воздействий,

Рис. 4.4 Единичное ступенчатое

воздействие на систему

прежде всего, в системах цифрового управления, задающие и управляющие воздействия которых квантованы по уровню.

Переходная функция (переходная характеристика) h(t) – это нормальная реакция системы (переходный процесс), вызванная входным единичным ступенчатым воздействием при нулевых начальных условиях. Переходные функции САУ определяют, как правило, по формулам Хевисайда или методом математического моделирования. Для наиболее широко распространенных динамических звеньев САУ имеются аналитические выражения их переходных функций [1-5].

Импульсная единичная функция (дельта-функция Дирака) относится также к тестовым сигналам САУ, характеризующим ее свойства во временной области. Она представляет собой производную от единичной ступенчатой функции

. (4.13)

Дельта-функцию можно трактовать как бесконечно короткий по времени импульс с бесконечно большой амплитудой, но с конечной площадью, равной единице.

Нормальная реакция САУ на импульсное воздействие – импульсная переходная функция (весовая функция) w(t) системы. Ее легко получить численным или графическим дифференцированием переходной функции. Для наиболее широко распространенных динамических звеньев САУ в учебниках по теории управления приводятся аналитические выражения их весовых функций [1-5].

Переходные и весовые функции типовых элементарных динамических звеньев приведены в главе 5.

4.4 Уравнение Лагранжа 2-го рода и дифференциальные уравнения объектов управления

Математические модели технических средств, систем автоматизации и управления весьма многообразны и могут быть достаточно сложными. В частности, на сложность электромеханических систем управления влияет множество факторов: число, тип и последовательность звеньев (кинематических пар), компоновочные схемы размещения приводов механических подсистем и конструкции передаточных механизмов, наличие устройств уравновешивания и динамической развязки движений и др. Для определения их математических моделей, в общем случае, применяют весьма сложные уравнения Лагранжа-Максвелла [1, 2].

Механические системы, как правило, имеют значительно большую инерционность по сравнению с инерционностью электромагнитных цепей электроприводов, приводящих их в движение, что позволяет при составлении математических моделей механических систем в форме дифференциальных уравнений использовать более простые уравнения Лагранжа 2-го рода [2]:

, (4.14) где q, , – векторы обобщенных координат, скоростей и обобщенных сил;

– кинетическая энергия механической системы.

Решение уравнения (4.14), т. е. математическую модель механического объекта управления представляют в форме системы обыкновенных дифференциального уравнений, разрешенных относительно вторых производных обобщенных координат (обобщенных ускорений), т. е.

. (4.15)

Для составления уравнений Лагранжа составляют расчетную схему механической системы, учитывающую геометрические размеры механических звеньев, тип и распределение (порядок расположения) кинематических пар, массы звеньев, упругие свойства кинематических связей.

Составление дифференциальных уравнений движения материальной системы на основе уравнений Лагранжа проводят в следующей последовательности:

1. определяют число n степеней свободы материальной системы;

2) выбирают систему координат и вводят независимые обобщенные координаты q₁, q₂ ,…, q_n ; - вектор обобщенных координат; их число должно быть равно числу n степеней свободы механической системы;

примечание: обобщенные координаты – независимые параметры, однозначно определяющие положение точек материальной системы;

3) определяют обобщенные силы системы Q₁, Q₂,…, Q_n; - вектор обобщенных сил;

примечание 1: для определения обобщенной силы Q_i , соответствующей i-й обобщенной координате, надо вычислить сумму работ всех активных сил, включая реакции неидеальных связей, на обобщенном возможном перемещении ; при этом все остальные обобщенные возможные перемещения принимают равными нулю; тогда

; (4.16)

примечание 2: если силы, действующие на систему потенциальны (однозначно определяются только положением материальных точек системы), то обобщенную силу Q_i можно найти как частную производную потенциальной энергии по обобщенным координатам, т. е.

, (4.17)

где потенциальная энергия системы E_п определяется как функция обобщенных координат, т. е. E_п = ; потенциальная энергия, создаваемая силами тяжести звеньев механической системы, для i-го звена массой m_i равна , где - высота подъема центра масс i-го звена, g – ускорение силы тяжести; потенциальная энергия, создаваемая силами упругости упругого звена (например, пружины), для i-го звена равна , где с_i – жесткость упругого звена, - угол закручивания (приращение обобщенной координаты);

4) вычисляют кинетическую энергию E_к системы как функцию обобщенных координат и скоростей т. е. ; кинетическая энергия материальной системы определяется как сумма кинетических энергий всех n материальных точек системы

. (4.18)

Использование формулы (4.18) ориентировано на концепцию распределенных масс механической системы и требует определение абсолютных скоростей достаточно большого множества материальных точек системы с массами m_i .

Кинетическая энергия в частных случаях движения твердого тела:

- при поступательном движении: , где m – масса твердого тела, v – скорость любой его точки;

- при вращательном движении вокруг неподвижной оси: , где J_Z – момент инерции твердого тела относительно оси Z вращения, – угловая скорость вращения;

- при вращательном движении вокруг неподвижной точки: , где J – момент инерции твердого тела относительно мгновенной оси вращения, – модуль мгновенной угловой скорости.

Если в твердом теле удается выделить оси материальной симметрии и, соответственно, главные центральные оси инерции, то кинетическую энергию тела определяют по формуле

, (4.19)

где - осевые моменты инерции твердого тела;

- проекции мгновенной угловой скорости на соответствующие координатные оси.

5) определяют частные производные кинетической энергии по обобщенным скоростям, т. е. , а затем вычисляют их производные по времени:

;

6) находят частные производные кинетической энергии по обобщенным координатам, т. е. ;

7) полученные в п. п. 3-6 результаты подставляют в уравнение (4.14) и дифференциальные уравнения разрешают относительно вторых производных по времени обобщенных координат, т. е. записывают уравнение движения механической системы в форме (4.15).

В качестве примера составления уравнения Лагранжа для начала рассмотрим кинематическую схему маятника, приведенную на рис. 4.5.

Рис. 4.5 Кинематическая схема маятника

1) Число степеней свободы материальной системы n = 1.

2) В качестве обобщенной координаты механической системы примем угол отклонения нити маятника от вертикальной оси.

3) Для определения обобщенной силы Q₁ (n=1) надо вычислить сумму работ всех активных сил, включая реакции неидеальных связей, на обобщенном возможном перемещении . Единственной активной силой является сила тяжести маятника P=mg. Так как нить рассматривается нерастяжимой, то она является идеальной связью. Работа силы тяжести на возможном перемещении :

.

Заметим, что работа является отрицательной, т. к. знаки вращающего момента, вызванного силой P и приращения , разные.

Отсюда с учетом (4.16)

.

Полученная обобщенная сила имеет размерность момента (нм).

Обобщенная сила Q₁ может быть определена иначе - на основе расчета потенциальной энергии системы :

.

4) Кинетическая энергия системы (твердого тела с массой m) при вращательном движении вокруг неподвижной оси:

,

где J_Z – момент инерции твердого тела относительно оси Z вращения, направленной перпендикулярно плоскости рисунка; для невесомой нити и точечной массы m имеем ;

– угловая скорость вращения.

5) Частная производная кинетической энергии по обобщенной скорости , а ее производная по времени

.

6) Кинетическая энергия E_к не зависит от обобщенной координаты , а, следовательно, частная производная кинетической энергии по обобщенной координате

.

7) После подстановки полученных выражений в уравнение Лагранжа (4.14) получим

(4.20)

или с учетом допущений, принятых для нити и массы маятника

. (4.21)

Полученные дифференциальные уравнения (4.20), (4.21) являются динамическим уравнением движения маятника.

Р ассмотрим в качестве примера расчетную схему более сложного механизма с тремя степенями подвижности, приведенную на рис. 4.6. Такая схема соответствует механизмам переносных движений роботов-манипуляторов, портальных кранов, ротационных стендов и т. п.

Рис. 4.6 Расчетная схема механизма с тремя степенями подвижности

Платформа механизма совершает вращательное движение вокруг оси Z₁ со скоростью . Каретка (ползун) массой m₂ перемещается вдоль радиуса вращения платформы (оси X) со скоростью . Груз (изделие) массой m₃ поворачивается вокруг оси Y (ось Y направлена касательно к радиусу x вращения каретки, проходит через центр ее масс m₂) и отстоит на расстоянии от оси вращения.

1) В число обобщенных координат механизма включим угол  поворота платформы против часовой стрелки, радиус x перемещения каретки от оси вращения платформы и угол  поворота ИП вокруг оси X₂ против часовой стрелки, т. е. .

2) Будем полагать, что приведенный к валу платформы момент инерции равен , а массы m₂ радиально перемещаемой каретки и m₃ перемещаемого груза сосредоточены в их центрах масс.

3) Вектор обобщенных сил, действующих на систему (см. рис. 4.6),

(4.22)

где M₁, M₃ – вращающие моменты электроприводов на валах платформы и груза,

M_с1, M_с3 – реактивные моменты сопротивления на валах платформы и груза,

- активный момент сопротивления вращению груза, вызванный силой тяжести груза,

F₂, F_с2 – сила радиального перемещения каретки и сила сопротивления этому перемещению (см. рис. 4.6).

4) Кинетическую энергию стенда представим в виде суммы кинетических энергий платформы, каретки и груза, т. е.

, (4.23)

где ; (4.24)

– момент инерции платформы, включающей приведенный к ее валу момент инерции электропривода платформы;

; (4.25)

, (4.26)

где – абсолютные скорости центров масс соответственно каретки и платформы.

Каретка (ползун) совершает сложное движение, и абсолютная скорость движения ее центра масс состоит из переносного вращательного движения платформы и относительного движения каретки вдоль оси X ее линейного перемещения, т. е.

а, следовательно,

. (4.27)

Груз также совершает сложное движение, и скорость движения его центра масс состоит рассмотренного выше переносного сложного движения каретки и относительного движения груза вокруг оси Y. Применяя теорему о сложении скоростей точки к точечной массе m₃, получим

,

а, следовательно,

(4.28)

Подставляя полученные выражения в (4.23), получим

(4.29)

5) Частные производные кинетической энергии по обобщенным скоростям

,

,

.

Возьмем производные по времени полученных выражений, имея в виду, что все обобщенные координаты и скорости являются функциями времени:

,

.

6) Частные производные кинетической энергии по обобщенным координатам

,

,

.

7) В результате подстановки (4.22) и (4.29) в векторное уравнение Лагранжа (4.14) и последующих преобразований математическая модель стенда описывается системой трех обыкновенных дифференциальных уравнений:

(4.30)

Уравнения в форме (4.30) обычно преобразуют к нормальной форме (4.15) Коши, разрешая их относительно обобщенных ускорений.

Как следует из (4.30), рассматриваемый механизм является нелинейным объектом третьего порядка с перекрестными связями по обобщенным координатам и скоростям, однако при определенных условиях (гл. 4.5), он может быть аппроксимирован линейной моделью.

В гл. 5 приведены примеры составления динамических моделей электродвигателя постоянного тока в форме обыкновенных дифференциальных уравнений, операторных уравнений, структурных схем, сигнальных графов, а в гл. 9 – в векторно-матричной форме.

Для решения уравнений динамики САУ целесообразно применение широко распространенных математических систем (Maple V R3…87,

Matlab 5.0…7.0, MathCAD Pro (Premium, 11, 12), Mathematica 2…5 и др.). Прежде всего, пакеты символьной математики этих математических систем позволяют преобразовать векторно-матричное описание (4.30) к нормальной форме Коши, исключив многочисленные рутинные преобразования. Кроме того, эти математические системы позволяют выполнить численное интегрирование систем линейных и нелинейных дифференциальных уравнений, а также наглядно представить результаты вычислений в виде таблиц и графиков и решить целый перечень задач математического моделирования динамических систем.