10.6 Синтез сау с апериодической реакцией
Системы с апериодической реакцией характеризуются переходной характеристикой с минимальным (желательно нулевым) перерегулированием и минимальным временем установления. В качестве меры близости переходной характеристики к установившемуся значению принимают зону, не превышающую 2% от установившегося значения. Минимальное время tнр (нарастания регулирования) для апериодических процессов соответствует времени вхождения в зону 2% от установившегося значения и зависит от порядка системы и ее параметров.
Нормированная передаточная функция замкнутой САУ с апериодической реакцией имеет вид
(10.41)
где n – порядок системы,
– нормированная
комплексная пременная,
,
–
нормированное
(относительное) время установления
апериоди-ческой реакции САУ, зависящее
от порядка системы,
,
,
… - коэффициенты характеристического
полинома, обеспечивающие апериодическую
реакцию САУ.
Коэффициенты , , , и параметры переходного процесса для систем 2…5 порядка приведены в табл. 10.2.
Таблица 10.2
Коэффициенты полиномов оптимальных по быстродействию систем
Порядок системы |
Коэффициенты |
Относительное перерегулирование |
Относительное время установления |
|||
|
|
|
|
|||
2 |
1,82 |
|
|
|
0,10% |
4,82 |
3 |
1,90 |
2,20 |
|
|
1,65% |
4,04 |
4 |
2,20 |
3,50 |
2,80 |
|
0,89% |
4,81 |
5 |
2,70 |
4,90 |
5,40 |
3,40 |
1,29% |
5,43 |
Рассмотрим пример синтеза САУ с апериодической реакцией. Пусть передаточная функция разомкнутой САУ имеет вид
. (10.42)
Введем последовательно с объектом корректирующее устройство с передаточной функцией
, (10.43)
а также установим на входе САУ предшествующий фильтр с передаточной функцией
. (10.44)
Потребуем, чтобы время установления (вхождения в зону 2%) составляло 2 с.
Передаточная функция замкнутой САУ имеет вид
. (10.45)
Из табл. 10.2 для системы 3-го порядка находим:
=1,9, =2,20, =4,04.
Тогда
для времени установления tнр=
2с получим относительное значение
=2,02,
имеющее размерность частоты (рад/с).
Желаемый характеристический полином замкнутой САУ
. (10.46)
Отсюда находим:
a = 2,84, b = 1,34 и K = 6,14.
Переходный процесс в системе приведен на рис. 10.16.
Рис. 10.16 Переходный процесс в САУ
с апериодической реакцией
10.7 Синтез модальных систем управления
Синтез систем модального управления базируется на корневых методах, а, следовательно, качество переходных процессов определяется расположением корней характеристического полинома системы на комплексной плоскости. Модальный регулятор относится к линейным регуляторам состояния, т. е. для выработки оптимального управления используется информация обо всех координатах управляемого объекта.
Структурная схема системы модального управления приведена на рис. 10.17.
Рис. 10.17 Структурная схема системы
модального управления
Объект управления представлен в векторно-матричной форме (9.3), а устройство управления (модальный регулятор) представлено в виде
, (10.47)
где Z – вектор задающих воздействий размерности m 1,
X – вектор состояния объекта размерности n 1,
K – матрица коэффициентов обратных связей m n.
С учетом линейной структуры (10.47) регулятора векторно-матричная модель системы модального управления получает вид:
. (10.48)
Характеристический полином системы определяет ее свободное движение, т. е движение под действием ненулевых начальных условий X(0). Это означает, что свободное движение замкнутой системы определяется выражением
. (10.49)
Обозначим матрицу свободного движения замкнутой системы в виде
. (10.50)
Характеристический полином системы имеет вид
. (10.51)
Зададимся характеристическим полиномом с желаемым расположением корней на комплексной плоскости в виде полинома с отрицательными действительными корнями, причем все n корней будем полагать равными, что обеспечит оптимальные по быстродействию апериодические переходные процессы в системе. Таким образом, желаемый характеристический полином будет иметь вид
, (10.52)
где T – постоянная времени, определяющая желаемое время регулирования (установления переходных процессов),
. (10.53)
Искомую матрицу K коэффициентов обратных связей получают в результате решения уравнений (10.51), (10.52), т. е. приравниванием в этих выражениях коэффициентов при операторе p в одинаковых степенях.
Рассмотрим в качестве примера синтез модального регулятора электропривода постоянного тока. Пусть электродвигатель имеет параметры, приведенные в гл. 9.3 и описывается матрицами (9.15). В качестве управляемого силового преобразователя, питающего якорную цепь, примем транзисторный преобразователь с моделью в виде безынерционного звена с коэффициентом передачи, равным 25. Тогда объект управления в форме (9.3) будет описываться матрицами
. (10.54)
Матрица состояния замкнутой системы в соответствие с (10.50)
.
Характеристический полином замкнутой САУ
Зададимся
желаемым временем регулирования
=
0,1 с. Тогда
Характеристический полином с желаемым расположением корней
. (10.56)
Приравнивая (10.54) к (10.55), получим
.
Проведем анализ синтезированной системы, используя пакет расширения Simulink-4.5 системы Matlab-6.5. Схема моделирования системы управления приведена на рис. 10.18.
Рис. 10.18 Схема моделирования системы модального управления
Кривые переходных процессов при ступенчатом приложении единичного задающего воздействия приведены на рис. 10.19, а при ступенчатом приложении единичного момента нагрузки на валу – на рис. 10.20. Верхние графики отражают изменение напряжения якоря, средние – электромагнитного момента, нижние - скорости вращения вала двигателя.
Рис. 10.19 Кривые переходных процессов при ступенчатом
приложении задающего воздействия
Рис. 10.20 Кривые переходных процессов при ступенчатом
приложении момента нагрузки на валу
Как видим, переходные процесс имеют апериодический характер и заканчиваются приблизительно за заданное время 0,1 с, что на порядок меньше времени переходных процессов в разомкнутой САУ (см. рис. 9.3…9.5). Заметим, что установившееся значения скорости (см. рис. 10.19) приблизительно равно 1,6 рад/с и не соответствует единичному заданию. Дело в том, что задающее воздействие формируется в виде напряжения на входе силового транзисторного преобразователя и непосредственно не связано со скоростью вращения двигателя. Эта проблема разрешается в результате синтеза вынужденного движения системы (см. второе слагаемое в (10.48)), что потребует установки дополнительного масштабного усилителя на входе замкнутой системы.