10.3 Последовательная коррекция сау частотными методами

Качество замкнутой САУ можно оценить по ее частотным характеристикам, таким, как полоса пропускания, запас устойчивости по фазе, резонансная частота и др. Чтобы удовлетворить заданным требованиям к качеству системы в нее вводят корректирующее устройство. Для его синтеза применяют частотные характеристики в форме диаграммы Боде, диаграммы Никольса или корневой годограф [4]. При последовательной коррекции (наиболее распространенный в практических приложениях случай) предпочтительным является применение диаграммы Боде, т. к. в этом случае частотная характеристика скорректированной системы получается просто суммированием частотных характеристик исходной (нескорректированной) системы и корректирующего устройства (см. гл. 8.2.3).

Рассмотрим корректирующее устройство с передаточной функцией (10.4). Его частотную характеристику можно записать в виде

, (10.7)

где , , .

Таким образом, для данной структуры корректирующего устройства необходимо выбрать 3 параметра: K, a, b или K_ку, , k.

Заметим, что коэффициент К совместно с коэффициентом передачи объекта управления определяет статическую точность системы, т. е. величину статической ошибки регулирования (см. выражения (4.6)…(4.9) и табл. 4.1).

Коэффициент k определяет кратность отношения полюса к нулю корректирующего устройства. При k >1 корректирующее устройство будет обладать опережением по фазе, при k <1 – отставанием по фазе.

10.3.1 Коррекция с опережением по фазе

На рис. 10.3 приведено расположение полюса и нуля на комплексной плоскости, а на рис. 10.4 – диаграмма Боде корректирующего устройства (10.4) с опережением по фазе.

Поскольку по модулю нуль меньше полюса асимптотическая ЛАЧХ имеет наклон +20 дБ/дек в области средних частот, т.е. при . Фазовая характеристика в соответствие с (10.7) определяется уравнением

. (10.8)

Фазовый сдвиг имеет максимальное значение на частоте , определяемой как среднегеометрическое значений полюса и нуля, т. е.

. (10.9)

Значение максимального фазового сдвига можно рассчитать по формуле [4]

. (10.10)

Заметим, что, чем далее отстоит полюс от нуля, т. е. чем больше k, тем больше максимальное значение фазового сдвига, однако практически одно пассивное корректирующее звено с опережением позволяет получить не более . Это связано, прежде всего, с возможностями практической реализации таких корректирующих звеньев. На рис. 10.5 приведена схема пассивного четырехполюсника, обеспечивающего опережение по фазе.

Рис. 10.5 Пассивный четырехполюсник,

обладающий опережением по фазе

.

Передаточная функция такого пассивного четырехполюсника

, (10.11)

где , .

Заметим, что выражение (10.11) совпадает с (10.7) с точностью до коэффициента передачи. Практически реализуемое значение k находится в диапазоне 1…30, причем увеличение k, т. е. кратности отношения полюса к нулю, приводит к снижению коэффициента передачи четырехполюсника, что может потребовать установки дополнительного усилителя на выходе корректирующего устройства.

Гораздо большие возможности коррекции динамических свойств САУ предоставляют активные четырехполюсники на основе операционных усилителей в интегральном исполнении. Это связано с тем, что коэффициент передачи современных операционных усилителей в разомкнутом состоянии достигает нескольких сотен тысяч и даже миллионов, а в линейной зоне работы, т. е. в режиме масштабирующего звена, может достигать сотен-тысяч. Принципиальная схема корректирующего звена 1-го порядка, обеспечивающего практически любой коэффициент передачи, а также реализующего либо опережение, либо отставание по фазе, приведена на рис. 10.6.

Рис. 10.6 Принципиальная схема

корректирующего звена 1-го порядка

на основе операционного усилителя

Передаточная функция этого корректирующего звена полностью совпадает с (10.7), т. е.

, (10.12)

где K_ку = R₂ / R₁, T₁ = R₁C₁, T₂ = R₂C₂, , k = T₁ / T₂ .

Как и для пассивного четырехполюсника, такое корректирующее устройство при k >1 будет обладать опережением по фазе, при k <1 – отставанием по фазе, однако в отличие от него имеется возможность выбора независимых друг от друга параметров , k и K_ку, причем практически в неограниченных пределах.

Синтез корректирующего устройства с опережением фазы выполняют в следующей последовательности.

1. Определить требуемый коэффициент ошибки в нескорректированной системе и вычислить необходимый коэффициент K_ку корректирующего устройства.

2. Оценить запас по фазе в нескорректированной системе.

3. Определить необходимый дополнительный фазовый сдвиг .

4. Вычислить параметр k по выражению (10.10).

5. Найти частоту , при которой ЛАЧХ корректирующего устройства имеет усиление 10lgk, т. е. частоту, при которой ЛАЧХ скорректированной системы имеет усиление 0 дБ (частоту среза ).

6. Вычислить значения полюса и нуля b = a / k .

7. При использовании пассивного четырехполюсника скомпенсировать уменьшение коэффициента усиления, введя последовательно с корректирующим устройством усилительное звено с коэффициентом передачи k.

8. Построить частотные характеристики скорректированной САУ, проверить полученные запасы по амплитуде и фазе.

Рассмотрим пример синтеза САУ с опережением по фазе. Пусть объект управления и звено обратной связи по регулируемой координате имеют передаточные функции

, (10.13)

. (10.14)

Тогда передаточная функция разомкнутой САУ

. (10.15)

Требуется, чтобы при линейном задающем воздействии X(t) относительная установившаяся динамическая ошибка составляла не более 5%, а запас по фазе составлял около 40 .

В соответствие с (4.8) и табл. 4.1 коэффициент передачи разомкнутой САУ должен быть не менее коэффициента ошибки по скорости

. (10.16)

Отсюда частотная передаточная функция нескорректированной САУ

. (10.17)

Фазовая характеристика нескорректированной САУ

. (10.18)

На рис. 10.7 диаграмма Боде нескорректированной САУ приведена сплошной полужирной линией.

Частота среза нескорректированной САУ , а, значит, в соответствие с (10.18) фазовый сдвиг .

Рис. 10.7 Диаграмма Боде САУ при коррекции

с опережением по фазе

Таким образом, запас по фазе составляет и требуется ввести корректирующее устройство, обеспечивающее опережение по фазе

. (10.19)

Найдем кратность отношения полюса к нулю корректирующего устройства, воспользовавшись (10.10):

, (10.20)

откуда k = 3.

Амплитудная характеристика корректирующего устройства на частоте имеет значение 10lgk = 10lg3 4,8 дБ. Поскольку именно на столько повышается коэффициент передачи скорректированной САУ (частота , соответствующая , должна совпадать с частотой среза скорректированной САУ), то = 8,4 рад/с. Отсюда =14,5 рад/с, b = a / k = 4,85 рад/с.

Таким образом, передаточная функция корректирующего устройства с опережением по фазе имеет вид

. (10.21)

Если корректирующее устройство выполнено в виде пассивного четырехполюсника, то его коэффициент передачи необходимо увеличить в k раз.

Таким образом, передаточная функция разомкнутой скорректированной САУ имеет вид

. (10.22)

Диаграмма Боде скорректированной САУ (штриховые полужирные линии) приведена на рис. 10.7. Фаза передаточной функции (10.22) на частоте среза

.

Тогда запас по фазе скорректированной САУ

, что отвечает исходным требованиям к САУ.