1. Произошло ли событие a?

Пусть событие A имеет вероятность p. Изобразим отрезок [0,1] и соответствующую событию вероятность на графике. Разыграем (сгенерируем) случайное число R, и если оно окажется меньше p, будем считать, что событие произошло, в противном случае – нет (на рисунке изображен как раз такой случай, т.к. ).

2. Какое из нескольких событий произошло?

Пусть события несовместны и образуют полную группу, тогда сумма их вероятностей равна единице. Разделим отрезок [0,1] на участков длины и будем считать, что произошло то из событий, на чей участок попало число R (на приведенном ниже рисунке произошло A₃)

2. Какое значение приняла случайная величина ?

Если случайная величина дискретна, т.е. принимает значения с вероятностями , то этот случай сводится к предыдущему. Рассмотрим случай, когда случайная величина непрерывна и имеет заданную плотность вероятности . Чтобы разыграть ее значение, достаточно перейти от плотности вероятности к функции распределения по формуле

и найти для функции F обратную к ней функцию. Затем разыгрывается случайное число R от 0 до 1 и ищется значение , которому соответствует значение функции распределения . Графически процедура представлена ниже

2. Какую совокупность значений приняли случайные величины ?

Если случайные величины независимы, то достаточно раз повторить процедуру, описанную в пункте 3. В случае их зависимости необходимо учитывать условный закон распределения каждой случайной величины.

При компьютерном моделировании используется алгоритм генерации псевдослучайных чисел; при “ручном” – таблицы случайных чисел.

Пример: моделирование объема спроса на автомашины. Наблюдения за объемом продаж автомобилей в автосалоне в течение 200 дней показали, что величина спроса изменяется от 0 до 5 автомобилей в день. Частота реализации числа продаж приведена во втором столбце таблицы

Табл. 13.1.

Число продаж	Частота реализации	Вероятность реализации	Значение функции распределения	Интервал случайных чисел
0	10	10/200 = 0,05	0,05	От 1 до 5
1	20	20/200 = 0,1	0,15	От 6 до 15
2	40	40/200 = 0,2	0,35	От 16 до 35
3	60	60/200 = 0,3	0,65	От 36 до 65
4	40	40/200 = 0,2	0,85	От 66 до 85
5	30	30/200 = 0,15	1,00	От 86 до 100
ИТОГО	200	1,00

Необходимо построить модель, имитирующую спрос.

Решение. Построим функцию распределения дискретной случайной величины - спроса и зададим интервалы соответствующих случайных чисел (четвертый и пятый столбцы таблицы). Произведем имитацию спроса на машины в автосалоне в течение последующих 10 дней, используя таблицу случайных чисел (второй столбец приводимой ниже таблицы)

Табл. 13.2.

Номер дня	Случайное число (из таблицы случайных чисел)	Имитируемый дневной спрос
1	52	3
2	37	3
3	82	4
4	69	4
5	98	5
6	96	5
7	33	2
8	50	3
9	88	5
10	90	5

Таким образом, суммарный спрос за 10 дней составляет 39 автомобилей, средний ежедневный спрос – 39/10 = 3,9 автомобилей. Оценка средней величины спроса с помощью ИМ (3,9), заметно отличается от значения математического ожидания этой случайной величины (2,95), но различие уменьшается при росте числа испытаний.

Приведем еще один простой пример на применение метода Монте-Карло. Пусть оценивается площадь круга радиуса 5 см, центр которого находится в точке (x₀,y₀) = (1,2). Заключим круг в квадрат со стороной, равной диаметру.

Если в результате ИМ m из n точек попали внутрь круга (или на окружность), то

Координаты x и y точек квадрата представляют равномерно распределенные случайные величины с плотностями вероятностей:

(обе функции равны нулю вне указанных интервалов).

Если - различные случайные числа из интервала [0,1], то координаты случайных точек (x,y) равны:

Очевидно, точка попадает внутрь круга, если ее координаты удовлетворяют условию

Например, если сгенерированы значения , то соответствующая им точка попадет внутрь круга (проверьте).

Реализация ИМ на компьютере показывает, что оценка площади круга улучшается с увеличением числа генерируемых точек.

Этот пример может быть усложнен. Например, с помощью ИМ можно достаточно точно оценить площадь сложной фигуры типа

при условии, что имеется алгоритм определения числа точек, попадающих в затемненную область.

Подобный подход используется для оценки многомерных интегралов, и часто является единственно возможным.

При решении задач с помощью ИМ используются алгоритмы генерации точек с помощью различных законов распределения. Приведем наиболее часто используемые алгоритмы генерации.