1. Методы свертки системы показателей эффективности

В методах этого типа из совокупности локальных критериев формируется один. Наиболее часто используемым методом этого типа является метод линейной комбинации локальных (частных) критериев.

Пусть экономическая или техническая система характеризуется набором локальных критериев (целевых функций) и известен вектор весовых коэффициентов (вектор приоритетов) , характеризующий важности соответствующих критериев, причем

В этом случае функция предпочтения выбирается в виде

и задача векторной оптимизации сводится к обычной задаче скалярной оптимизации. При решении данной задачи учитывается система функций-ограничений для каждой из целевых функций .

Наиболее ответственным и субъективным аспектом при решении данных задач является выбор значений весовых коэффициентов. Существует ряд способов определения , например, метод экспертных оценок.

Одним из недостатков методов свертки является то, что решение, оптимизирующее функцию предпочтения, может оказаться неудовлетворительным по одному или сразу нескольким частным показателям. Это объясняется тем, что при достижении максимума функции предпочтения недопустимо малые значения некоторых показателей , компенсируются большими значениями остальных.

Пример 1.

Рассмотрим следующую задачу векторной оптимизации

;

где целевые функции и соответствующие им ограничения имеют вид:

Если, например, выбраны значения , то решение дает

Изменив значения параметров (т.е. изменив относительную важность частных критериев эффективности), например, полагая , получим другое оптимальное значение исследуемой функции

Таким образом, очевидна чувствительность значений оптимизируемой функции к вариациям весовых коэффициентов.

Методы, использующие ограничения на критерии

Методы, использующие ограничения на критерии, включают метод ведущего критерия и метод последовательных уступок.

В методе ведущего критерия все целевые функции, кроме одной, переводятся в разряд ограничений. Пусть - вектор, компоненты которого представляют собой нижние границы соответствующих критериев. Тогда задача записывается в виде

где - исходная система функций-ограничений.

Например, при оптимизации плана работы предприятия можно потребовать, чтобы прибыль была максимальна, план по ассортименту – выполнен или перевыполнен, а стоимость продукции – не выше заданной. При таком подходе все показатели, кроме главного, переводятся в разряд ограничений.

Метод ведущего критерия часто применяется в таких задачах, как минимизация полных затрат при условии выполнения плана по производству различных видов продукции, максимизация выпуска комплектных наборов при ограничении на потребляемые ресурсы и ряда других.

Алгоритм метода последовательных уступок состоит в следующем:

1. Критерии нумеруются в порядке убывания важности.

2. Определяется оптимальное значение наиболее важного критерия . Лицом, принимающим решение, устанавливается величина уступки по этому критерию.

3. Решается задача по критерию с дополнительным ограничением .

4. Пункты 2 и 3 повторяются последовательно для критериев .

Если ЛПР устраивают полученные значения всех критериев, то задача считается решенной. В противном случае изменяются величины уступок и задача решается заново.

К преимуществам метода последовательных уступок относится то, что сразу видно, ценой какой уступки в одном показателе приобретается выигрыш в другом и какова величина этого выигрыша.

Пример 2.

В качестве примера использования метода последовательных уступок рассмотрим следующую задачу векторной оптимизации

при ограничениях

если уступка по первому критерию составляет 10% от его оптимального значения.

Решение. Решим задачу по критерию , в результате чего получим . В соответствии с условием задачи величина уступки . Дополнительное ограничение будет иметь вид: , т.е. . Решая задачу

получим

.

Методы целевого программирования

При решении задач методами целевого программирования предполагается приближение значения каждого критерия к определенной величине , т.е. достижение определенной цели. Задача целевого программирования может быть сформулирована как минимизация сумм отклонений целевых функций (критериев) от целевых значений с нормированными весами :

где - вектор целевых значений, - расстояние (мера отклонения) между и , . Часто (например, в случае линейного целевого программирования) полагают . Следует отметить, что точка , как правило, не принадлежит области допустимых значений, в связи с чем ее иногда называют идеальной или утопической точкой.

Пример 3.

Провести оптимизацию вектор – функции методом целевого программирования

при ограничениях

Значения весовых коэффициентов полагаются равными

Решение.

Проведя последовательно поиск максимальных значений функций , получим значения: 1,0748; 0,7357; 2.

После этого минимизируем значение целевой функции , рассматривая полученные ранее оптимальные значения как . Оптимальное значение этой целевой функции оказывается равным 0,325. При этом получаются другие значения функций , соответствующие таким , при которых отклонение от минимально.

При заданных значениях весовых коэффициентов получим следующие оптимальные (с точки зрения достижения оптимального значения “совокупной” функции ) значения компонент вектор-функции:

1,0748	0,7815	0,7358	0,3609	2	1,6784

Таким образом, в результате оптимизации значения всех трех функций-составляющих уменьшились.

Следует отметить, что задача целевого программирования может формулироваться и иным образом. ЛПР может просто указать, исходя из своих соображений, желательные с его точки зрения, значения , или диапазоны, в которых должны находиться эти значения. При этой постановке поиск оптимальных значений компонент (первая часть решения) не проводится, а их значения (или диапазоны) вводятся в качестве дополнительных ограничений.

Методы интерактивного программирования

В этих методах решение задачи происходит в интерактивном (диалоговом) режиме. ЛПР оценивает полученное решение и изменяет заранее заданные коэффициенты или уступки по критериям, а также определяет направление оптимизации. Эта информация служит для постановки новой задачи оптимизации и получения промежуточного решения. Диалог продолжается до тех пор, пока решение не будет удовлетворять всем требованиям. Достоинством данного метода является использование знаний и интуиции ЛПР, понимающего смысл задачи и способного правильно корректировать промежуточные результаты в нужном направлении.

Необходимо понимать, что задача обоснования решения по нескольким показателям всегда не вполне формализована, и окончательный выбор решения, в конечном счете, определяется волевым актом ЛПР. Дело аналитиков – предоставить в его распоряжение данные, помогающие сделать выбор не “вслепую”, а с учетом преимуществ и недостатков каждого варианта решения.