21.3 Принцип равновесия по Нэшу

Пусть все стороны выбрали решения, оптимальные по Парето (ситуация, оптимальная по Парето). Согласно принципу оптимальности Парето, все стороны, действуя совместно, не могут увеличить эффективность своих решений. Однако любая сторона, уклонившись от ситуации, оптимальной по Парето, при определенных условиях может добиться большего значения “своего” показателя эффективности. Иными словами, ситуации, оптимальные по Парето, не обладают устойчивостью по отношению к отклонениям от них какой-либо стороны. В то же время желательно, чтобы ни одна из сторон, действуя в одиночку, не могла увеличить эффективность выбираемых ею решений. Другими словами, необходим поиск таких ситуаций, отклонение от которых было бы невыгодным ни для одной из сторон по-отдельности.

Поиск ситуаций, являющихся устойчивыми в смысле невыгодности отклонения от них ни одной из сторон, приводит к принципу равновесия по Нэшу.

Ситуацию, характеризующуюся набором решений , называют равновесной по Нэшу, если для всех справедливо неравенство

.

Если прочитать эти неравенства справа налево, то можно видеть, что замена какого-либо одного решения, входящего в равновесную ситуацию, любым другим из множества допустимых, уменьшает соответствующий показатель эффективности. Если - показатели эффективности сторон, то при ситуации равновесия по Нэшу следует, что ни одна из них не заинтересована в изменении решения, входящего в ситуацию равновесия, если все остальные стороны сохраняют решения, соответствующие этой ситуации.

Таким образом, если стороны предварительно договариваются о выборе решений, образующих равновесную ситуацию, то индивидуальное нарушение этого договора невыгодно нарушителю.

21.4 Обзор методов решения задач векторной оптимизации

В случае крупномасштабных операций или при разработке сложных систем невозможно оценить качество решения с помощью единственного критерия эффективности.

Так, при организации работы промышленного предприятия необходимо добиться максимальных значений валового объема продукции, чистого дохода, производительности труда, но в то же время свести к минимуму себестоимость продукции и т.д. и т.п. Данная многокритериальность требует проведения векторной оптимизации.

Решение задачи векторной оптимизации представляет собой сложный процесс, в ходе которого могут применяться различные расчетные схемы и алгоритмы, в частности:

• методы, основанные на свертывании системы показателей эффективности;

• методы, использующие ограничения на критерии;

• методы целевого программирования;

• методы, в основе которых лежат человеко-машинные процедуры принятия решений (интерактивное программирование).

Для некоторых из этих методов вводится функция предпочтения (полезности), c помощью которой проблема сравнения значений частных показателей эффективности сводится к сравнению значений функции предпочтения. При этом один набор значений локальных критериев предпочтительнее другого, если ему соответствует большее значение функции предпочтения.

Приведем краткий обзор методов векторной оптимизации.