Тема 21. Многокритериальные задачи теории принятия решений Основные понятия и определения

Векторный критерий. Альтернатива. Локальный критерий оптимальности. Глобальный критерий оптимальности. Оптимизация на множестве целей.

Оптимизация на множестве объектов. Оптимизация на множестве условий функционирования. Оптимизация на множестве этапов функционирования. Нормализация критериев. Приоритет критериев. Принцип оптимальности Парето. Принцип равновесия по Нэшу.

Методы свертывания системы показателей эффективности. Методы, использующие ограничения на критерии. Методы целевого программирования. Методы интерактивного программирования.

21.1 Классификация многокритериальных задач

В отличие от однокритериальных задач, в результате решения которых однозначно определяется оптимальная стратегия, в задачах с векторным критерием невозможно определить, какое из решений действительно (объективно) оптимально. Решение может превосходить альтернативные по одним критериям и уступать им по другим.

Сложность проблемы принятия решений по векторному критерию даже в условиях определенности связана не столько с вычислительными трудностями, сколько с обоснованностью выбора оптимального решения. Невозможно строго математически доказать, что выбранное решение наилучшее, так как любое решение из числа недоминируемых, то есть неулучшаемых одновременно по всем частным критериям, может оказаться наилучшим для конкретного ЛПР в конкретных условиях. Т.е. применительно к многокритериальным задачам ТПР не имеет смысла говорить о наилучшем решении вообще.

При сравнении альтернатив по векторному критерию считается, что всякая альтернатива не хуже любой другой, если для нее значение векторного критерия не менее предпочтительно, чем значение критерия другой альтернативы, то есть

  ,

где - альтернативы; - векторный критерий; - символ отношения нестрогого предпочтения.

Предположим, что множественность критериев связана с наличием нескольких сторон, заинтересованных в разрешении проблемной ситуации. Каждая сторона стремится найти и принять решение, при котором ее показатель эффективности (целевая функция) был бы наибольшим. Так как величина показателя эффективности каждой стороны зависит от решений всех остальных сторон, то наиболее эффективные для одной стороны решения не являются таковыми для других. Стремление каждой стороны добиваться наибольшей эффективности принимаемых ею решений носит конфликтный характер и сама формулировка того, какое решение является приемлемым, хорошим или наилучшим (оптимальным), проблематична.

Широкий спектр характеристик экономических объектов приводит к необходимости введения локального и глобального критериев оптимальности. При этом глобальный критерий формулируется либо в виде скалярной целевой функции, которая обобщенно выражает многообразие целей, либо в виде векторной функции, представляющей набор несводимых друг к другу частных целевых функций (локальных критериев).

Множественность целей развития экономических систем существенно усложняет планирование и требует их согласования. Целью многокритериальной или векторной оптимизации и является отыскание наилучших решений по нескольким критериям.

Можно выделить четыре типа многокритериальных задач.

• Оптимизация на множестве целей, каждая из которых должна быть учтена при выборе оптимального решения. Например - задача составления плана работы предприятия, в которой критериями служит ряд экономических показателей.

• Оптимизация на множестве объектов, качество функционирования каждого из которых оценивается самостоятельным критерием. Например, задача распределения ресурсов между несколькими предприятиями. Для каждого предприятия критерием оптимальности является степень удовлетворения его потребности в ресурсе. Для планирующего органа критерием выступает вектор локальных приоритетов предприятий.

• Оптимизация на множестве условий функционирования. Задан спектр условий работы объекта, и применительно к каждому условию качество функционирования оценивается частным критерием (например, “жесткий” или “нормальный” режим работы).

• Оптимизация на множестве этапов функционирования. Рассматривается работа объектов в течение интервала времени из нескольких этапов. Качество управления на каждом этапе оценивается частным критерием, а на множестве этапов – общим векторным критерием. Пример - распределение квартального плана цеха по декадам. В каждой декаде необходимо обеспечить максимальную загрузку. В результате получится критерий максимизации загрузки в каждой декаде квартала.

Многокритериальные задачи можно классифицировать и по другим признакам, например, по вариантам оптимизации, по числу или типам критериев, по соотношениям между критериями, по уровню структуризации, наличию фактора неопределенности и т.п.

При решении векторных задач приходится решать ряд специфических проблем.

1. Проблема нормализации. Если локальные критерии имеют различные единицы и масштабы измерения, то их непосредственное сравнение невозможно. Приведение критериев к единому масштабу и безразмерному виду называется нормированием. Наиболее распространенным способом нормирования является замена абсолютных значений критериев относительными.

2. Проблема учета приоритета критериев возникает, если локальные критерии имеют различную значимость. Необходимо найти математическое определение приоритета и степень его влияния на решение задачи.

Для обеспечения однородности частных критериев обычно используют приемы эквивалентного преобразования неоднородных частных критериев к единому, безразмерному виду, например:

• Если известны эталонные значения показателей (например, международный стандарт), то используется преобразование:

• Если известны максимально возможные значения показателей, то

• Если известны диапазоны изменения показателей, то

или

Кратко рассмотрим некоторые фундаментальные понятия теории принятия решений в контексте многокритериальных задач.