22.1 Экспертное оценивание важности объектов

Часто суждения экспертов представляются в количественной форме (в виде чисел). Например - оценка качества изделия, оценка мастерства спортсменов и т.п. При этом применяется определенная математическая обработка экспертных оценок, например, выставление среднего балла.

Рассмотрим процедуры обработки экспертных оценок при определении важности объектов. В качестве объектов могут рассматриваться, например, показатели эффективности в многокритериальных задачах выбора решений.

22.1.1 Усреднение экспертных оценок

Пусть экспертам необходимо сравнить объектов. Предположим, что существует набор чисел , характеризующих истинные значения важности этих объектов и неизвестных экспертам и ЛПР. Наиболее важному объекту соответствует наибольшее, а наименее важному – наименьшее число из . Так как ранжирование объектов по важности определяется относительными величинами чисел , то будем считать, что

Пусть важность объектов оценивают экспертов. Обозначим через оценку важности - го объекта , данную - м экспертом . Полученные оценки представим в виде матрицы

, (15.1)

число строк которой соответствует числу объектов, а число столбцов – числу экспертов. Поскольку оценки важности одного и того же объекта разными экспертами могут не совпадать (числа в строках, вообще говоря, различны), то возникает задача определения показателей важности , представляющих усредненное мнение всех экспертов.

Усредненные показатели важности рассчитываются по формулам:

(15.2)

причем удовлетворяют условию нормировки

.

Таким образом, относительные оценки важности вычисляются как среднеарифметические оценок, выставленных всеми экспертами. Данный простейший подход применяется тогда, когда ЛПР уверен в одинаковой компетентности и объективности экспертов.

При различных уровнях компетентности экспертов вводятся коэффициенты компетентности экспертов , отвечающие условиям:

(15.3)

При этом формула (2) обобщается и принимает вид

Представим последнее равенство в матричной форме. Для этого введем векторы-столбцы

где символ обозначает операцию транспонирования. В результате формула (4) примет вид:

При известной компетентности экспертов расчет усредненных оценок важности проводится по формулам (4) или (5).

Более сложным и реалистическим является случай, когда коэффициенты компетентности неизвестны. При этом используется рекуррентный метод расчета.

Обозначим через вектор коэффициентов компетентности на - м шаге вычислений . Примем, что на первом шаге

.

Для - го шага оказываются справедливыми соотношения

(15.6)

, (15.7)

где - нормирующий множитель, вычисляемый из условия

.

Подставляя (6) в (7) получим соотношение

(8)

где квадратная симметрическая матрица определяется равенством

и называется матрицей взаимосвязи экспертных оценок.

Пример

Пусть S = 2, n = 3 и матрица экспертных оценок равна

Как видно, первый и второй эксперты важность обоих объектов оценивают одинаково, причем второй объект признается заметно более важным, чем первый (0,8 против 0,2). Третий эксперт по какой-то причине (некомпетентность, предвзятость и т.п.) придерживается противоположного мнения.

Определим коэффициенты компетентности экспертов и вычислим усредненные (с учетом компетентности) оценки важности объектов.

По формуле (9) рассчитаем матрицу взаимосвязи экспертных оценок

Имеем и по формуле (8) получим

Для определения нормирующего множителя используем уравнение

Следовательно

По формуле (6) находим

Для k = 3 из (8) получим

Отсюда Таким образом

Дальнейшие вычисления приводят к практически идентичным результатам.