21.2 Принцип оптимальности Парето.

Пусть решения ПС оцениваются по некоторой совокупности показателей (под может пониматься, например, целевая функция, описывающая какую-либо характеристику производственного процесса, показатель функционирования предприятия и т.п.). Для наглядности можно представлять, что в выборе решения участвуют сторон, каждая из которых заинтересована в максимизации соответствующего (“своего”) показателя. При этом -я сторона может выбрать любое допустимое для нее решение . Чрезвычайно важно, что решение, выбранное этой стороной, влияет на эффективность решений всех остальных. Это означает, что показатель эффективности любой стороны зависит от совокупности допустимых решений всех сторон, т.е.

.

Решение стороны предпочтительнее ее решения , если

.

Учитывая наличие сторон, самостоятельно выбирающих свои решения, можно сформулировать принцип оптимальности Парето):

Если для всех сторон допустимые решения предпочтительнее решений , то последние не будут приняты (т.е. будут единогласно отвергнуты).

Как правило, совокупность решений оказывается неединственной и образует некоторое множество решений, оптимальных по Парето. Любой набор решений из этого множества не может быть улучшен сразу по всем показателям . Поэтому оптимальные по Парето решения называются также неулучшаемыми. Любое решение из множества является неулучшаемым. Изменением этого решения невозможно добиться увеличения какого-либо показателя эффективности, не уменьшая при этом хотя бы одного из остальных. Выбор конкретного решения из множества оптимальных по Парето может быть осуществлен лишь на основе компромисса, на основе переговоров ЛПР всех заинтересованных сторон.

Мы считали, что в выборе решения участвуют различных сторон, однако рассмотренные понятия и вся формулировка в целом совершенно аналогичны и в том случае, когда выбор решения осуществляет одна сторона, руководствующаяся не единственным, а некоторой совокупностью показателей эффективности. Принятие какого-либо конкретного решения из множества Парето является при этом прерогативой ЛПР и осуществляется, как правило, на основе его субъективных предпочтений.

Рассмотрим процесс поиска эффективных по Парето решений на примере задачи с двумя критериями (для определенности, считаем, что оба критерия нужно максимизировать). Пусть найдено множество возможных решений . Каждому решению соответствуют определенные значения показателей ; будем изображать решение точкой на плоскости с координатами и пронумеруем точки в соответствии с номерами решений (Рис. 14.1)

W₂

Рис. 14.1. Формирование оптимальных по Парето решений

Видно, что из всех решений эффективными (недоминируемыми) являются лишь решения . Для всякого другого решения существует хотя бы одно доминирующее, для которого либо W₁, либо W₂, либо оба больше, чем для данного. После того, как выделены эффективные по Парето решения, выбор “наилучшего” производится в пределах этого множества. Например, решение u₁₁ является наилучшим по критерию W₁, u₂ – наилучшим по критерию W₂, а остальные два решения характеризуются “хорошим” сочетанием обоих критериев. Выбор - за ЛПР.

При большем числе показателей W_i множество эффективных решений строится аналогично, хотя при n>3 геометрическая интерпретация теряет наглядность.