22.4 Метод анализа иерархий: особенности и область применимости

Этот метод, разработанный Т. Саати, применяется при решении многих проблем, таких как:

• Определение приоритетных направлений научных исследований;

• Проектирование сложных технических систем;

• Планирование развития фирм;

• Прогнозирование цен на продукцию;

• Выбор новых информационных систем или прикладных программ конкурирующих производителей.

В общем случае иерархия определяет расположение некоторых объектов (элементов иерархии) в порядке от высшего к низшему, от старшего к младшему по степени подчиненности (Рис. 15.2).

Рис. 15.2. Схематическое изображение иерархии.

Метод анализа иерархий включает:

• иерархическое структурирование проблемы;

• попарное сравнение элементов иерархии;

• поэтапное выявление приоритетов.

Высший уровень соответствует цели проблемы. Элементы последующих уровней могут отождествляться:

• с возможными решениями (альтернативами);

• с ограничениями;

• со сторонами, заинтересованными в том или ином решении проблемы;

• с показателями (критериями) эффективности и т.п.

Простейшей является трехуровневая иерархия, включающая (Рис. 15.3):

• уровень цели – первый уровень

• уровень альтернатив (возможных решений) – второй уровень;

• уровень критериев – третий уровень.

Иногда в качестве второго уровня рассматривается уровень критериев, а в качестве третьего – уровень альтернатив.

Рис. 15.3. Простейшая трехуровневая иерархия.

Пример. Менеджер отбирает одного из трех претендентов на вакантную должность на основании следующих критериев: 1) возраст, 2) образование, 3) владение информационными технологиями, 4) знание иностранного языка, 5) коммуникабельность, 6) психологическая устойчивость, 7) способность к самообучению. Здесь иерархия является трехуровневой: число элементов второго уровня (уровня альтернатив) равно трем, а третьего (уровень критериев) - семи.

При структурировании проблемы необходимо соблюдать ряд требований:

• Все элементы одного уровня должны быть попарно сравнимы. Это позволяет выявить предпочтения среди альтернатив и определить наилучшее решение.

• Структурирование проблемы производится совместно всеми заинтересованными лицами для полноты перечня возможных решений и отражения всего спектра точек зрения и предпочтений участников.

• Число элементов на любом уровне иерархии не должно превышать 7 – 9, иначе затрудняется сопоставление элементов иерархии между собой, усложняется получение взаимосогласованных оценок и возрастает риск получения ошибочных решений.

Пример. Решается вопрос о закупке технологической линии для производства компьютеров. Основными критериями выбора для менеджера являются стоимость и производительность линии, причем относительную важность (вес) производительности он оценивает в 17% (0,17), а стоимости - в 83% (0,83). Рассматривается возможность покупки линий трех конкурирующих производителей . Оценка линий этих производителей путем попарных сравнений с точки зрения интересующих менеджера критериев дает следующий результат:

	Фирма - производитель
	A	B	C
Производительность линии	12,9 %	27,7%	59,4%
Стоимость	54,5%	27,3%	18,2%

Структура задачи принятия решений приводится на рисунке ниже.

Оценка различных альтернатив основывается на вычислении комбинированного весового коэффициента для каждой из фирм-производителей:

На основании этих оценок фирма A рассматривается как наиболее приемлемый поставщик производственной линии.

Можно усложнить задачу и предположить, что решение о покупке линии сообща принимают 2 совладельца компании, полностью контролирующие пакет акций. Пусть доля в пакете акций первого владельца – Иванова- (его “весовой коэффициент”) составляет , а второго – Сидорова – соответственно . Иерархия усложняется (см. рисунок), но методика расчета остается аналогичной.

Теперь для расчета, например, комбинированного весового коэффициента фирмы A нужно рассчитать величину

и провести аналогичные расчеты для всех остальных фирм; сравнение полученных значений позволяет найти наилучшее решение.

Главная сложность при реализации МАИ заключается в определении весовых коэффициентов для оценки альтернативных решений.

Определим матрицу сравнений для первого примера (подобные расчеты для второго примера нужно проводить для обоих менеджеров).

С точки зрения менеджера, стоимость линии значительно важнее ее производительности, в связи с чем он приписал элементу (1,2) матрицы попарных сравнений значение 5 ( ). Таким образом, получается матрица

.

Относительные веса критериев могут быть определены путем деления элементов каждого столбца на сумму элементов этого же столбца. Таким образом, для нормализации матрицы делим элементы первого столбца на величину

а элементы второго – на величину

Искомые относительные веса критериев вычисляются как средние значения элементов соответствующих строк нормализованной матрицы

Столбцы матрицы N одинаковы, что имеет место лишь в случае, когда ЛПР проявляет идеальную согласованность в определении матрицы A.

Относительные веса альтернативных решений, соответствующих фирмам A, B, C, вычисляются в пределах каждого критерия с использованием следующих матриц сравнения

Сумма элементов столбцов = [1,83 3,67 5,5]

Сумма элементов столбцов = [ 8 3,5 1,7 ].

Аналогично получаем следующие нормализованные матрицы

средние значения элементов строк

Средние значения элементов строк

Величины

определяют соответствующие веса для фирм A, B, C с точки зрения стоимости выпускаемых ими линий, а

есть относительные веса, характеризующие производительности линий.